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Elder定理

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Elder定理是 Stanley定理 的推廣，後者指出，在 整數 n 的所有無序 劃分 中，整數 k 出現的總次數等於在一個 劃分 中，部分出現 k 次或更多次的場合數，其中包含 r 部分的劃分，每個部分出現 k 次或更多次，對所討論的總和貢獻 r。

這個一般結果由 R. P. Stanley 於 1972 年發現，並提交給美國數學月刊的“問題與解答”欄目，但被拒絕，評論是“有點太簡單，只使用了標準論證”，大概是因為編輯們沒有理解問題的實際陳述和解法（Stanley 2004）。因此，k=1 的結果首次作為 Cohen (1978) 中的問題 3.75 發表，此前 Cohen 從 Stanley 那裡得知了這個結果。因此，k=1 的情況有時被稱為“Stanley定理”。Kirdar 和 Skyrme (1982)、Paul Elder 在 1984 年（如 Honsberger 1985, p. 8 所報告）以及 Hoare (1986) 給出了對一般情況的獨立證明。

作為定理的一個例子，請注意 4 的劃分是 4，3+1，2+2，2+1+1 和 1+1+1+1，其中包含 0+1+0+2+4=7 個 1，0+0+2+1+0=3 個 2，0+1+0+0+0=1 個 3 和 1+0+0+0+0=1 個 4。類似地，部分出現 1 次或更多次的情況有 1+2+1+2+1=7 次，2 次或更多次的情況有 0+0+1+1+1=3 次，3 次或更多次的情況有 0+0+0+0+1=1 次，以及 4 次或更多次的情況有 0+0+0+0+1=1 次。

一般來說，在 n 的劃分中，1, 2, ..., n 出現的次數由以下三角形給出

n\k12345678
11
221
3411
47311
5124211
61984211
7301163211
84519963211

(OEIS A066633)。

另請參閱

劃分, Stanley定理

使用 探索

參考文獻

Cohen, D. I. A. 組合理論的基本技巧。 紐約：Wiley and Sons, 1978。Hoare, A. H. M. "關於 n 劃分中塊的對合。" 美國數學月刊 93, 475-476, 1986。Honsberger, R. 數學瑰寶 III。 華盛頓特區：美國數學協會，pp. 8-9, 1985。Kirdar, M. S. 和 Skyrme, T. H. R. "關於與劃分和部分重複相關的恆等式。" 加拿大數學雜誌 34, 194-195, 1982。Sloane, N. J. A. 序列 A066633，收錄於“整數序列線上百科全書”。Stanley, R. P. 練習 1.26，摘自列舉組合學，第 1 卷。 英國劍橋：劍橋大學出版社，p. 59, 1999。Stanley, R. P. "列舉組合學第 1 卷，第二版印刷的勘誤和補遺。" 修訂於 2004 年 2 月 13 日。 http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/newerr.ps。

在 中被引用

Elder定理

請引用為

Weisstein, Eric W. “Elder定理。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/EldersTheorem.html

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