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雙隨機矩陣

雙隨機矩陣是一個矩陣 A=(a_(ij)) 使得 a_(ij)>=0 且

sum_(i)a_(ij)=sum_(j)a_(ij)=1

是所有 i 和 j 的某個域。換句話說，矩陣本身及其轉置都是隨機矩陣。

下表給出了在 Z_m 上對於小的 m 的不同雙隨機矩陣（和不同的非奇異雙隨機矩陣）的數量。

m在 Z_m 上的雙隨機 n×n 矩陣
21, 2, 16, 512, ...
31, 3, 81, ...
41, 4, 256, ...
m在 Z_m 上的非奇異雙隨機 n×n 矩陣
21, 2, 6, 192, ...
31, 2, 54, ...
41, 4, 192, ...

Horn (1954) 證明如果 y=Ax，其中 x 和 y 是複數 n-向量，A 是雙隨機矩陣，且 c_1, c_2, ..., c_n 是任意複數，則 sum_(i=1)^(n)c_iy_i 位於所有點 sum_(i=1)^(n)c_ix_(alphai), alpha in R^n 的凸包中，其中 R^n 是 {1,...,n} 的所有排列的集合。Sherman (1955) 也證明了逆定理。

Birkhoff (1946) 證明了任何 n×n 雙隨機矩陣都在 m 個 置換矩陣的凸包中，對於 m<=(n-1)^2+1。關於這個結果有幾個證明和擴充套件 (Dulmage and Halperin 1955, Mendelsohn and Dulmage 1958, Mirsky 1958, Marcus 1960)。

參見

Majorization, 隨機矩陣

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參考文獻

Birkhoff, G. "Three Observations on Linear Algebra." Univ. Nac. Tucumán. Rev. Ser. A 5, 147-151, 1946.Dulmage, L. and Halperin, I. "On a Theorem of Frobenius-König and J. von Neumann's Game of Hide and Seek." Trans. Roy. Soc. Canada Sect. III 49, 23-29, 1955.Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.Marcus, M. "Some Properties and Applications of Doubly Stochastic Matrices." Amer. Math. Monthly 67, 215-221, 1960.Mendelsohn, N. S. and Dulmage, A. L. "The Convex Hull of Subpermutation Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 253-254, 1958.Mirsky, L. "Proofs of Two Theorems on Doubly Stochastic Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 371-374, 1958.Schreiber, S. "On a Result of S. Sherman Concerning Doubly Stochastic Matrices." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 350-353, 1958.Sherman, S. "A Correction to 'On a Conjecture Concerning Doubly Stochastic Matrices.' " Proc. Amer. Math. Soc. 5, 998-999, 1954.Sherman, S. "Doubly Stochastic Matrices and Complex Vector Spaces." Amer. J. Math. 77, 245-246, 1955.

在 上被引用

雙隨機矩陣

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙隨機矩陣。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DoublyStochasticMatrix.html

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