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色散關係

給出函式實部作為其虛部積分，以及虛部作為其實部積分的任何方程對。色散關係在物理學中暗示因果關係。令

f(x_0)=u(x_0)+iv(x_0),
(1)

則

u(x_0)=1/piPVint_(-infty)^infty(v(x)dx)/(x-x_0)
(2)
v(x_0)=-1/piPVint_(-infty)^infty(u(x)dx)/(x-x_0),
(3)

其中 PV 表示柯西主值，而 u(x_0) 和 v(x_0) 互為希爾伯特變換。如果復函式是對稱的，使得 f(-x)=f^*(x)，則

u(x_0)=2/piPVint_0^infty(xv(x)dx)/(x^2-x_0^2)
(4)
v(x_0)=-2/piPVint_0^infty(x_0u(x)dx)/(x^2-x_0^2).
(5)

另請參閱

希爾伯特變換

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參考文獻

Byron, F. W. Jr. 和 Fuller, R. W. 經典和量子物理學數學。紐約：Dover，頁碼 344, 1992。

在 上被引用

色散關係

請引用為

Weisstein, Eric W. “色散關係。” 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/DispersionRelation.html

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