差異定理

設 , , ... 為介於 0 和 1 之間的實數無限序列。那麼，對於任何任意大的 ，都存在一個正整數 和兩個等長的子區間，使得 （其中 , 2, ..., ）在一個子區間中的數量與在另一個子區間中的數量之差大於 (van der Corput 1935ab, van Aardenne-Ehrenfest 1945, 1949, Roth 1954)。

這個陳述可以如下改進。設 為一個大的整數，, , ..., 為 個介於 0 和 1 之間的實數序列。那麼對於任何整數 和任何滿足 的實數 ，設 表示滿足 的 （其中 , 2, ..., ）的數量。那麼存在 和 使得

(1)

其中 是一個正的常數。Schmidt (1972) 改進了這個結果，得到

(2)

這基本上是最優的。

這個結果可以進一步加強，最容易透過重新表述問題來完成。設 為一個整數，, , ..., 為正方形 , 中的 個（不必相異）點。那麼

(3)

其中 是一個正的常數， 是矩形 , 中的點數 (Roth 1954)。因此，

(4)

並且最初的結果可以表述為存在 和 使得

(5)

以上正方形中顯示的隨機分佈的點分別具有 和 9.11 的 值。

類似地，單位 -超立方體 中 個點的差異滿足

(6)

(Roth 1954, 1976, 1979, 1980)。