可收縮

在 中的一個集合，如果可以透過連續形變收縮到它的一個點，比如 ，則稱該集合是可收縮的。這種變換使得集合中的每個點都沿著一條路徑移動到 ，且路徑具有以下性質：

1. 每條路徑完全在集合內部。

2. 鄰近的點在“相鄰”的路徑上移動。

條件 (1) 意味著一個 不連通集合，即由分離部分組成的集合，不能是可收縮的。

條件 (2) 意味著圓的 周長 不是可收縮的。後者可以透過考慮圓周上兩個靠近的點 和 ，它們位於點 的不同側。連線 和 與 的路徑要麼彼此相反，要麼長度不同。類似的論證表明，一般來說，對於所有 ，-球面（即 維球的邊界）不是可收縮的。

集合中的間隙或洞可能是可收縮性的阻礙。然而，也存在帶孔的可收縮集合的例子，例如“帶兩個房間的房子”。在這種情況下，如何構造上述型別的變換並不明顯。但是，集合 可收縮性的正式定義保證了它的存在，即 與它的一個點 同倫。這意味著存在一個連續對映 ，使得 是恆等對映， 是將每個點發送到 的常值對映。因此，當 從 0 變為 1 時， 描述了從 到 的連續路徑，並且滿足條件 (1)。此外，由於對映 對於第二個分量也是連續的，因此從 開始的路徑相對於 連續變化，正如條件 (2) 所要求的。