同倫型別

由中的集合形成的類，這些集合本質上具有相同的結構，而與大小、形狀和維度無關。“本質結構”是指一個集合在透過壓縮或膨脹其部分進行變換時保持不變的結構，但不進行切割或粘合。被保留的最重要的特徵是內部閉合路徑系統。特別是，基本群保持不變。然而，這個物件僅描述了環路，即本質上是圓線的路徑，而同倫型別也指更高維度的閉合路徑，這些路徑對應於球面的邊界。因此，同倫型別對幾何物件進行了更精確的分類。至於圓形路徑，無論物件位於平面上還是球面上，都沒有區別，因此在兩種情況下基本群是相同的。

然而，同倫型別是不同的，因為平面不包含任何球面路徑。一般來說，透過驗證集合中的兩條閉合路徑是否可以簡化為集合中相同的幾何物件來比較它們。表面上的圓形路徑可以透過首先將其收縮到其中心，然後將中心移動到給定點，從而簡化為同一表面上的任何給定點。對於固體中的球面路徑也是如此。正方形和立方體中的所有閉合路徑與點是同一種類型，因此立方體、正方形和點具有相同的同倫型別。

然而，在更一般的情況下，孔洞和間隙可能是上述變換的障礙。空心球體可以收縮為球面，但無法進一步縮小。立方體、正方形和點的例子表明，同倫型別可以包括不同維度的集合：因此，它的元素並非都是同胚的，而是以更一般的方式相關的。根據正式定義，如果可以找到兩個連續對映和，使得對映的組合和不一定分別等於和上的恆等對映，但與它們同倫，即它們可以透過連續變形簡化為它們，則兩個集合和具有相同的同倫型別。