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連線同態

ConnectingHomomorphism

根據蛇引理，同態 S 允許構造一個正合序列

Ker(alpha)-->Ker(beta)-->Ker(gamma)-->^Scoker(alpha)-->coker(beta)-->coker(gamma)
(1)

從上述具有正合行的交換圖表而來。同態 S 由以下定義

S(c)=a^'+Im(alpha)
(2)

對於所有 c in Ker(gamma)，Im 表示像，而 a^' 透過以下基於圖追跡的構造獲得。

1. 利用 g 的滿射性找到 b in B 使得 c=g(b)。

2. 由於 0=gamma(c)=gamma(g(b))=g^'(beta(b)) 因為右方塊的可交換性，beta(b) 屬於 Ker(g^')，這等於 Im(f^')，因為下方行在 B^' 的正合性。這允許我們找到 a^' in A^' 使得 beta(b)=f^'(a^')。

雖然元素 b 和 a^' 不是唯一確定的，但陪集 a^'+Im(alpha) 是，正如可以透過使用更多圖追跡來證明的那樣。 特別是，如果 b^_ 和 a^_^' 是滿足步驟 (1) 和 (2) 要求的其他元素，那麼 c=g(b^_) 和 beta(b^_)=f^'(a^_^')，並且

0=c-c=g(b)-g(b^_)=g(b-b^_),
(3)

因此 b-b^_ in Ker(g)=Im(f) 因為上方行在 B 的正合性。令 a in A 使得

b-b^_=f(a).
(4)

則

f^'(a^'-a^_^')=f^'(a^')-f^'(a^_^')=beta(b)-beta(b^_)=beta(b-b^_)=beta(f(a))=f^'(alpha(a)),
(5)

因為左方塊是可交換的。由於 f^' 是單射的，因此得出

a^'-a^_^'=alpha(a) in Im(alpha),
(6)

因此

a^'+Im(alpha)=a^_^'+Im(alpha).
(7)

另請參閱

上核, 交換圖表, 圖追跡, 正合序列, 群核, 蛇引理

此條目由 Margherita Barile 貢獻

使用 探索

參考文獻

Bourbaki, N. "蛇圖。" §1.2 in 代數學。第 10 章，同調代數。 Paris, France: Masson, 3-7, 1980.Lang, S. 代數學，修訂第 3 版。 New York: Springer Verlag, pp. 158-159, 2002.Mac Lane, S. 工作數學家的範疇論。 New York: Springer Verlag, pp. 202-204, 1971.Munkres, J. R. 代數拓撲要素。 New York: Perseus Books Pub.,p. 141, 1993.

在 中被引用

連線同態

請引用為

Barile, Margherita. "連線同態。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/ConnectingHomomorphism.html

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