補子空間

設 為 賦範空間， 和 為 的代數補子空間 (即， 且 )，設 為商對映， 為自然同構 ，且 為 在 沿 上的投影。那麼以下陳述是等價的：

1. 是同胚。

2. 和 在 中是閉的，且 是同胚。

3. 和 是閉的，且 是有界投影。

子空間 和 被稱為拓撲補子空間或簡稱補子空間，如果以上每個等價陳述成立（Constantinescu 2001，Meise 和 Vogt 1997）。

每個有限維子空間都是補子空間，並且有限餘維子空間的每個代數補都是拓撲補子空間。在 巴拿赫空間 中，兩個閉子空間是代數補子空間當且僅當它們是補子空間。

存在非補的閉子空間。例如，設 為狄利克雷代數，即在 上解析且在 的閉包上連續的所有解析函式的空間。那麼， 的子空間，由 的函式到 的限制組成，在 中不是補子空間 (Hoffman 1988)。

與補子空間相關的問題是巴拿赫空間理論的核心，並且已有五十多年的歷史（Johnson 和 Lindenstrauss 2001）。