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阿基米德的牛群問題

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阿基米德的牛群問題，也稱為牛群難題，或阿基米德反問題，描述如下：“太陽神有一群牛，包括公牛和母牛，其中一部分是白色的，第二部分是黑色的，第三部分是斑點的，第四部分是棕色的。在公牛中，白色的數量比棕色的多出黑色的二分之一加三分之一；黑色的數量比棕色的多出斑點牛的四分之一加五分之一；斑點牛的數量比棕色的多出白牛的六分之一和七分之一。在母牛中，白色的數量是黑色牛總數的三分之一加四分之一；黑色的數量是斑點牛總數的四分之一加五分之一；斑點牛的數量是棕色牛總數的五分之一加六分之一；棕色牛的數量是白色牛總數的六分之一加七分之一。這群牛的構成是什麼？”

解法包括求解關於整數的聯立丟番圖方程 W, X, Y, Z (白色、黑色、斑點和棕色公牛的數量) 和 w, x, y, z (白色、黑色、斑點和棕色母牛的數量)，

W=5/6X+Z
(1)
X=9/(20)Y+Z
(2)
Y=(13)/(42)W+Z
(3)
w=7/(12)(X+x)
(4)
x=9/(20)(Y+y)
(5)
y=(11)/(30)(Z+z)
(6)
z=(13)/(42)(W+w).
(7)

最小的整數解是

W=10366482
(8)
X= 7460514
(9)
Y= 7358060
(10)
Z= 4149387
(11)
w= 7206360
(12)
x= 4893246
(13)
y= 3515820
(14)
z= 5439213.
(15)

這個問題的一個更復雜版本要求 W+X 是一個平方數，Y+Z 是一個三角形數。這個問題的解是具有 206544 或 206545 位數字的數字，這最早由 Williams 等人 (1965) 獲得。他們的計算花費了 7 小時 49 分鐘的計算時間，結果被存放在《Mathematics of Computation》雜誌的未發表數學表格檔案中。Nelson (1980-81) 發表了來自 CRAY 1 計算機的 47 頁列印輸出，其中包含 206545-digit solution. 這些計算，連同檢查，大約花費了十分鐘。除了最小的解之外，還發現了五個額外的解來進一步測試計算機，其中最大的解包含超過一百萬位數字 (Rorres)。最近，Vardi (1998) 開發了簡單的顯式公式來生成牛群問題的解。事實上，可以使用 Wolfram Language 中的FindInstance輕鬆（幾乎）完成解題。牛的總數由下式給出

W+X+Y+Z+w+x+y+z=7.760271...×10^(206544)
(16)

(OEIS A096151)。

使用 探索

參考文獻

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在 中被引用

阿基米德的牛群問題

請引用為

Weisstein, Eric W. “阿基米德的牛群問題。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ArchimedesCattleProblem.html

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