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範德瓦爾登定理

範德瓦爾登定理是關於集合中等差數列存在性的定理。該定理可以用四種等價形式陳述。

1. 如果 N=C_1 union C_2 union ... union C_r，則某些 C_i 包含任意長的等差數列（博德猜想）。

2. 對於所有正整數 k 和 r，存在一個常數 n(k,r)，使得如果 n_0>=n(k,r) 且 {1,2,...,n_0} subset C_1 union C_2 union ... union C_r，則某些集合 C_i 包含長度為 k 的等差數列。

3. 如果 {a_0,a_1,...} 是一個滿足 0<a_(k+1)-a_k<r 對於某些 r 的整數無限序列，則該序列包含任意長的等差數列。

4. 對於所有正整數 k 和 r，存在一個常數 g(k,r)，使得如果 g_0>=g(k,r) 且 a_1, a_2, ..., a_(g_0) 滿足 0<a_(i+1)-a_i<=r，則 k 個數 a_1, a_2, ..., a_(g_0) 成等差數列。

常數 n(k,r) 被稱為 範德瓦爾登數，並且 n(k,r) 的公式是未知的。範德瓦爾登定理是 塞邁雷迪定理的推論。

參見

等差數列, 博德猜想, 塞邁雷迪定理, 範德瓦爾登數

此條目由 Kevin O'Bryant 貢獻

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參考文獻

de Bruijn, N. G. "Commentary." Unpublished manuscript, pp. 116-124, 1977. http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/598841.pdf.Guy, R. K. "Theorem of van der Waerden, Szemerédi's Theorem. Partitioning the Integers into Classes; at Least One Contains an A.P." §E10 in Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 317-323, 2004.Honsberger, R. More Mathematical Morsels. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 29, 1991.Khinchin, A. Y. "Van der Waerden's Theorem on Arithmetic Progressions." Ch. 1 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 11-17, 1998.van der Waerden, B. L. "Beweis einer Baudetschen Vermutung." Nieuw Arch. Wisk. 15, 212-216, 1927.van der Waerden, B. L. "How the Proof of Baudet's Conjecture Was Found." Studies in Pure Mathematics (Presented to Richard Rado). London: Academic Press, pp. 251-260, 1971.van der Waerden, B. L. "Wie der Beweis der Vermutung von Baudet gefunden wurde." Elem. Math. 53, 139-148, 1998.

在 上被引用

範德瓦爾登定理

請引用為

O'Bryant, Kevin. "van der Waerden's Theorem." 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/vanderWaerdensTheorem.html

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