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範德瓦爾登數

範德瓦爾登定理的一種形式指出，對於所有正整數 k 和 r，存在一個常數 n(r,k) 使得如果 n_0>=n(r,k) 且 {1,2,...,n_0} subset C_1 union C_2 union ... union C_r，那麼某個集合 C_i 包含一個長度為 k 的等差數列。 n(r,k) 的最小可能值被稱為範德瓦爾登數。 唯一已知的非平凡範德瓦爾登數總結在下表中。 如表所示，n(2,k) 的前幾個值，對於 k=1, 2, ... 分別是 1, 3, 9, 35, 178, 1132, ... (OEIS A005346)，其中最後一個值是由 M. Kouril 和 J. L. Paul 於 2007 年發現的 (Kouril and Paul 2008)。

r\k3456
29351781132
327
476

Shelah (1988) 證明了範德瓦爾登數是原始遞迴函式。 已知

n(r,3)<=e^(r^(c_1))
(1)

且

n(r,4)<=e^(e^(e^(r^(c_2))))
(2)

對於某些常數 c_1 和 c_2。 1998 年，T. Gowers 宣佈他已證明一般結果

n(r,k)<=e^(e^(r^(e^(e^(k+110)))))
(3)

(Gowers 2001)。 Berlekamp (1968) 表明，對於素數 p，

n(2,p+1)>p·2^p.
(4)

使用 Lovász 區域性引理 的機率論證表明

n(r,k)>((r^k)/(erk))(1+o(1)).
(5)

Heule (2008) 給出了新的下界。

另請參閱

塞邁雷迪定理, 範德瓦爾登定理

此條目的部分內容由 Kevin O'Bryant 貢獻

使用 探索

參考文獻

Berlekamp, E. A. "用於避免長等差數列的劃分構造。" 加拿大數學公報 11, 409-414, 1968.Goodman, J. E. 和 O'Rourke, J. (編輯). 離散與計算幾何手冊。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 159, 1997.Gowers, W. T. "傅立葉分析與塞邁雷迪定理。" 載於國際數學家大會論文集，第 1 卷。 Doc. Math. 1998, Extra Vol. 1. 柏林, pp. 617-629, 1998. 可從 http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/Fields/Fields.html 線上獲取。Gowers, W. T. "塞邁雷迪定理對長度為 4 的等差數列的新證明。" Geom. Funct. Anal. 8, 529-551, 1998.Gowers, W. T. "塞邁雷迪定理的新證明。" Geom. Func. Anal. 11, 465-588, 2001.Heule, M. J. H. "提高几率：範德瓦爾登數的新下界。" 2008 年 3 月 4 日。 http://www.st.ewi.tudelft.nl/sat/slides/waerden.pdf.Honsberger, R. 更多數學拾零。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 29, 1991.Kouril, M.  和 Paul, J. L. "範德瓦爾登數 W(2,6) 為 1132。" 實驗數學 17, 53-61, 2008.Shelah, S. "範德瓦爾登數的原始遞迴界限。" 美國數學會雜誌 1, 683-697, 1988.Sloane, N. J. A. 序列 A005346/M2819，出自 "整數序列線上百科全書"。

在 上被引用

範德瓦爾登數

請引用為

O'Bryant, Kevin 和 Weisstein, Eric W. "範德瓦爾登數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/vanderWaerdenNumber.html

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