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探索 Sandreckoner 的盒子

作者：Eric W. Weisstein

2003年11月19日——阿基米德的 stomachion 是一個由 14 塊組成的 分割 拼圖，類似於更常見的 七巧板。 Magnus Ausonius (公元 310-395 年) 在歸因於古代最偉大的數學家阿基米德的殘缺不全的手稿中描述了它。

阿基米德最著名的可能是他所謂的浴缸中的驚呼“尤里卡！”（“我找到了！”），但他還發明瞭可以說至少領先他所處時代一千年的數學。阿基米德不僅發明了 窮竭法，這是一種可以使用聽起來非常熟悉 積分學 學生的概念來精確計算面積和體積的技術，而且還在基於位置的印度-阿拉伯數字系統在 1202 年由斐波那契在他的著作 Liber Abaci 中引入歐洲的幾個世紀前，設計了一種表示非常大的數字的系統。

阿基米德在他的手稿 The Sandreckoner 中發表了這個數字系統，之所以這樣命名，是因為它試圖計算填滿宇宙所需的沙粒數量。阿基米德計算出的這個數字約為 10⁶⁴ (Carroll)，這對於公元前三世紀來說是一項了不起的壯舉，即使更現代的估計約為 10⁹⁰ (Wolfram 2000)。

可悲且具有諷刺意味的是，阿基米德在再次思考數學和沙子時不幸去世。據說在羅馬人圍攻敘拉古期間，阿基米德透過建造透鏡將陽光聚焦在羅馬船隻上並建造巨大的起重機將它們翻過來，從而單槍匹馬地保衛了這座城市。當羅馬人最終打破圍攻時，阿基米德被一名羅馬士兵殺死，此前他對士兵怒吼道：“別動我的圓圈”，這是指他在沙灘上畫出的一個幾何圖形。

在他的眾多其他著作中，阿基米德還描述了他稱之為“stomachion”的拼圖（原因我尚未確定），它在拉丁文字中又被稱為“loculus of Archimedes”（阿基米德的盒子）或“syntemachion”。stomachion 這個詞的詞根是希臘語 ，意思是“胃”。（請注意，雖然羅馬奧索尼烏斯將這個圖形稱為“ostomachion”，但這似乎是對原始希臘詞的扭曲。）

如上圖所示，stomachion 拼圖由 14 塊各種形狀的扁平瓷磚組成，這些瓷磚可以排列成一個 正方形，瓷磚的頂點位於 12 x 12 正方形網格 線的交點處。可以看出，拼圖的配置給出了兩對重複的碎片。與七巧板一樣，目的是重新排列碎片以形成有趣的形狀。以邊長為 12 的外接正方形為例，這些碎片的面積分別為 3、3、6、6、6、6、9、12、12、12、12、12、21 和 24，它們的相對面積分別為 1、1、2、2、2、2、3、4、4、4、4、4、7 和 8。有趣的是，正如 Coffin 指出的那樣，透過連線規則正方形網格上的點形成的所有多邊形的面積始終是整數比率。