無零數

十進位制數字中不包含零的整數稱為無零數。 前幾個正無零數是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, ... (OEIS A052382)。

無零平方數很容易生成，例如，

(1)

大約在 1990 年，D. Hickerson 考慮了尋找大無零立方數的問題。經過一些實驗，他找到了一個可以生成無限多個無零立方數的公式。 1998 年 3 月，Bill Gosper 詢問了關於無零 n 次冪的問題，指出根據啟發式方法，我們應該期望存在無限多個無零平方數、立方數、...、21 次冪，但只有有限多個 22 次冪等等。 在這時，Hickerson 找不到他關於立方數的公式，因此提出了新的公式

(2)

如果 且 ，則此公式是無零的。

1999 年 4 月，Ed Pegg 在sci.math上推測只有有限多個無零立方數，因此 Hickerson 釋出了他的新反例（錯誤地聲稱這是他 10 年前發現的那個）。 幾天後，Lew Baxter 釋出了稍微簡單的例子

(3)

被稱為 Baxter-Hickerson 函式。

顯然沒有證據證明存在無限多個無零 4 次冪、5 次冪、... 或 21 次冪。