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韋爾和

形如以下的指數和

sum_(n=1)^Ne^(2piiP(n)),
(1)

其中 P(n) 是一個 實多項式 (Weyl 1914, 1916; Montgomery 2001)。 記

e(theta)=e^(2piitheta),
(2)

這是 Vinogradov 引入的記號，韋爾觀察到

|sum_(n=1)^(N)e(P(n))|^2=sum_(n=1)^(N)sum_(m=1)^(N)e(P(m)-P(n))
(3)
=sum_(n=1)^(N)sum_(h=1-n)^(N-n)e(P(n+h)-P(n))
(4)
=sum_(h=-N+1)^(N-1)sum_(1<=n<=N; 1-h<=n<=N-h)e(P(n+h)-P(n))
(5)
=N+2R[sum_(h=1)^(N-1)sum_(n=1)^(N-h)e(P(n+h)-P(n))],
(6)

一個被稱為韋爾差分的過程。

韋爾能夠使用這個過程證明，如果

P(x)=sum_(i=0)^da_ix^i
(7)

是一個 實多項式 且 a_1, ..., a_d 中至少一個是無理數，那麼 {P(n)} 是均勻分佈的（mod 1）。

另請參閱

van der Corput 不等式, 韋爾判據

使用 探索

參考文獻

Berry, M. V. and Goldberg, J. "Curlicues 的重整化。" Nonlinearity 61, 1-26, 1988.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "形象的指數和，I。" Amer. Math. Monthly 86, 725-733, 1979.Montgomery, H. L. "解析數論中的調和分析。" 在 Twentieth Century Harmonic Analysis--A Celebration. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute Held in Il Ciocco, July 2-15, 2000 (Ed. J. S. Byrnes)。 荷蘭多德雷赫特：Kluwer，第 271-293 頁，2001 年。Montgomery, H. L. 解析數論與調和分析介面上的十次講座。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.Pickover, C. A. "分形黃金 Curlicue 冷嗎？" Visual Comput. 11, 309-312, 1995.Stewart, I. 你又讓我陷入了精妙的數學.... New York: Freeman, 1992.Weyl, H. "關於丟番圖逼近領域的一個問題。" Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., 234-244, 1914. 重印於 Gesammelte Abhandlungen, Band I. Berlin: Springer-Verlag, pp. 487-497, 1968.Weyl, H. "關於模 1 數字的均勻分佈。" Math. Ann. 77, 313-352, 1916. 重印於 Gesammelte Abhandlungen, Band I. Berlin: Springer-Verlag, pp. 563-599, 1968. 也重印於 Selecta Hermann Weyl. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 111-147, 1956.

在 中被引用

韋爾和

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “韋爾和。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/WeylSum.html

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