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陶 Dirichlet 級數

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拉馬努金 Dirichlet L-級數定義為

f(s)=sum_(n=1)^infty(tau(n))/(n^s),
(1)

其中 tau(n) 是 tau 函式。 注意，有時使用符號 F(s) 而不是 f(s)（Hardy 1999，第 164 頁）。

f(s) 具有類似於黎曼 zeta 函式的性質，並實現為RamanujanTauL[s].

拉馬努金猜想 f(s) 的所有非平凡零點都位於直線 R[s]=6 上。

f(s) 滿足函式方程

(f(s)Gamma(s))/((2pi)^s)=(f(12-s)Gamma(12-s))/((2pi)^(12-s))
(2)

（Hardy 1999，第 173 頁）並具有尤拉乘積表示

f(s)=product_(p)1/(1-tau(p)p^(-s)+p^(11-2s))
(3)

對於 sigma=R[s]>7 (因為 tau(n)=O(n^6)) (Apostol 1997，第 137 頁；Hardy 1999，第 164 頁)。

f(s) 可以分解為

f(6+it)=z(t)e^(-itheta(t)),
(4)

其中

z(t)=Gamma(6+it)f(6+it)(2pi)^(-it)sqrt((sinh(pit))/(pit(1+t^2)(4+t^2)(9+t^2)(16+t^2)(25+t^2)))
(5)
theta(t)=-1/2iln[(Gamma(6+it))/(Gamma(6-it))]-tln(2pi).
(6)

函式 theta(t) 和 z(t) 由 Wolfram 語言命令返回RamanujanTauTheta[t] 和RamanujanTauZ[t]，分別。

拉馬努金 tau Z-函式 Z 函式 z(t) 是實數 實函式 實數 t，類似於黎曼-西格爾函式 Z(t)。 臨界帶中從 t=0 到 T 的零點數由下式給出

N(t)=(Theta(T)+I{ln[f(6+iT)]})/pi,
(7)

其中 Theta(z) 是拉馬努金 theta 函式。 拉馬努金猜想該函式的非平凡零點都是實數。

拉馬努金 tau_z 函式定義為

tau_z(t)=(Gamma(6+it)(2pi)^(-it))/(f(6+it)sqrt((sinh(pit))/(pitproduct_(k=1)^(5)k^2+t^2))).
(8)

另請參閱

Tau 函式

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. 數論中的模函式和狄利克雷級數，第二版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他生平和工作啟發的課題的十二講，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Keiper, J. "On the Zeros of the Ramanujan tau-Dirichlet Series in the Critical Strip." Math. Comput. 65, 1613-1619, 1996.Spira, R. "Calculation of the Ramanujan Tau-Dirichlet Series." Math. Comput. 27, 379-385, 1973.Yoshida, H. "On Calculations of Zeros of L-Functions Related with Ramanujan's Discriminant Function on the Critical Line." J. Ramanujan Math. Soc. 3, 87-95, 1988.

在 上被引用

陶 Dirichlet 級數

請引用為

魏斯坦, 埃裡克·W. "陶 Dirichlet 級數。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/TauDirichletSeries.html

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