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標準差分佈

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StandardDeviationDistribution

考慮樣本標準差

s=sqrt(1/Nsum_(i=1)^N(x_i-x^_)^2)
(1)

對於從具有正態分佈的總體中抽取的n個樣本，正態分佈的總體。 s的分佈由下式給出

f_N(s)=2((N/(2sigma^2))^((N-1)/2))/(Gamma(1/2(N-1)))e^(-Ns^2/(2sigma^2))s^(N-2),
(2)

其中Gamma(z)是伽瑪函式，並且

sigma^2=(Ns^2)/(N-1)
(3)

(Kenney and Keeping 1951, pp. 161 and 171)。 上面繪製了函式f_N(s)，其中N=2 (紅色), 4 (橙色), ..., 10 (藍色), 和 12 (紫色)。

平均值由下式給出

<s>=sqrt(2/N)(Gamma(1/2N))/(Gamma(1/2(N-1)))sigma
(4)
=b(N)sigma,
(5)

其中

b(N)=sqrt(2/N)(Gamma(N/2))/(Gamma((N-1)/2))
(6)

(Kenney and Keeping 1951, p. 171)。 函式b(N)在統計過程控制中被稱為c_4 (Duncan 1986, pp. 62 and 134)。 Romanovsky 證明了

b(N)=1-3/(4N)-7/(32N^2)-9/(128N^3)+...
(7)

(OEIS A088801 和 A088802; Romanovsky 1925; Pearson 1935; Kenney and Keeping 1951, p. 171)。

原點矩由下式給出

mu_r^'=(2/N)^(r/2)(Gamma((N-1+r)/2))/(Gamma((N-1)/2))sigma^r,
(8)

並且s的方差為

var(s)=mu_2^'-mu^2
(9)
=1/N[N-1-(2Gamma^2(N/2))/(Gamma^2((N-1)/2))]sigma^2.
(10)

s/b(N)是sigma的無偏估計量 (Kenney and Keeping 1951, p. 171)。

另請參閱

樣本方差, 樣本方差分佈, 標準差

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參考文獻

Duncan, A. J. Quality Control and Industrial Statistics, 5th ed. New York: McGraw-Hill, 1986.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "The Distribution of the Standard Deviation." §7.8 in Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 170-173, 1951.Pearson, E. The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control. British Standards House, 1935.Romanovsky, V. "On the Moments of the Standard Deviation and of the Correlation Coefficient in Samples from Normal." Metron 5, 3-46, 1925.Sloane, N. J. A. Sequences A088801 and A088802 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

標準差分佈

引用為

Weisstein, Eric W. "標準差分佈。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/StandardDeviationDistribution.html

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