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平方-三角形定理

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平方-三角形定理指出，任何非負整數都可以表示為一個平方數、一個偶平方數和一個三角形數的和 (Sun 2005)，即，

n=x^2+(2y)^2+1/2z(z+1)
(1)

對於 x、y 和 z 為整數。例如，

11=1+4+6
(2)
34=9+4+21,
(3)

對應於解 (x,y,z)=(1,1,3) 和 (3,1,6) 的解，分別地。

缺少表示的 n 值，其中 x、y 和 z 都不為零的是 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12, 22 和 24 (OEIS A118426)。

下表給出了前幾個 n 的解。

n解 (x,y,z)
1(-1,0,-1), (-1,0,0), (0,0,-2), (0,0,1), (1,0,-1), (1,0,0)
2(-1,0,-2), (-1,0,1), (1,0,-2), (1,0,1)
3(0,0,-3), (0,0,2)
4(2,0,-1), (0,1,0), (-2,0,-1), (1,0,-3), (-2,0,0), (1,0,2), (-1,0,-3), (0,-1,-1), (2,0,0), (0,-1,0)
5(1,-1,-1), (0,-1,1), (-2,0,-2), (0,1,-2), (-1,-1,-1), (-2,0,1), (-1,1,0), (1,1,-1), (2,0,-2), (-1,1,-1)
6(-1,-1,-2), (-1,-1,1), (-1,1,-2), (-1,1,1), (0,0,-4), (0,0,3), (1,-1,-2), (1,-1,1), (1,1,-2), (1,1,1)
7(2,0,-3), (0,1,2), (-2,0,-3), (1,0,-4), (-2,0,2), (1,0,3), (-1,0,-4), (0,-1,-3), (2,0,2), (0,-1,2)
8(1,1,-3), (-1,1,2), (-2,-1,-1), (1,-1,-3), (-2,1,-1), (-2,-1,0), (-1,-1,2), (2,-1,-1), (2,1,-1), (-1,-1,-3)
9(3,0,-1), (2,-1,1), (-3,0,-1), (2,1,-2), (-3,0,0), (2,1,1), (-2,-1,-2), (-2,1,-2), (3,0,0), (-2,1,1)
10(2,0,-4), (0,0,4), (-3,0,-2), (0,1,-4), (-2,0,-4), (-3,0,1), (0,1,3), (0,0,-5), (3,0,1), (2,0,3)

對於 n=1, 2, ... 解的數量是 6, 4, 2, 12, 16, 10, 12, 16, 12, 14, 20, 4, 8, 24, 14, ... (OEIS A118421)。最高記錄是 6, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 40, 44, 56, 60, 72, 80, 88, 96, 108, ... (OEIS A118422)，出現在 n=1, 4, 5, 11, 14, 19, 20, 23, 26, 41, 53, 68, 86, 110, 145, ... (OEIS A118423)。

參見

Euler's Conjecture, Waring's Problem

使用 探索

參考文獻

Sloane, N. J. A. 序列 A118421, A118422, A118422, 和 A118426 在“整數序列線上百科全書”中。Sun, Z.-W. “每個自然數都具有 x^2+(2y)^2+z(z+1)/2 的形式。” 2005年5月9日。 http://arxiv.org/abs/math/0505128。

在 上被引用

平方-三角形定理

請引用為

Weisstein, Eric W. “平方-三角形定理。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Square-TriangleTheorem.html

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