自避行走連線常數

設隨機遊走在維超立方晶格上從原點出發，在步內從不落在同一個晶格點上的數量記為。前幾個值為

			(1)
			(2)
			(3)

一般來說，

(4)

（Pönitz 和 Tittman 2000），更嚴格的界限由 Madras 和 Slade (1993) 給出。Conway 和 Guttmann (1996) 枚舉了長度達 51 的遊走。

在任何晶格上，將自避行走分成兩段會產生兩個自避行走，但連線兩個自避行走不一定保持自避性質。令表示在維度晶格中，步的自避行走的數量。那麼上述觀察告訴我們，且 Fekete 引理表明

(5)

稱為晶格的連線常數，存在且是有限的。這些常數的最佳範圍是

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			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

（Beyer 和 Wells 1972，Noonan 1998，Finch 2003）。的上限改進了 Noonan (1998) 發現的 2.6939，由 Pönitz 和 Tittman (2000) 計算得出。

對於平面上的三角晶格， (Alm 1993)，對於六邊形平面晶格，據推測為

(11)

（Madras 和 Slade 1993）。

以下極限也被認為存在且是有限的

${lim_(n->infty)(c(n))/(mu^nn^(gamma-1)) for d!=4; lim_(n->infty)(c(n))/(mu^nn^(gamma-1)(lnn)^(1/4)) for d=4,$

(12)

其中對於臨界指數 (Madras 和 Slade 1993)，並且據推測

gamma={(43)/(32) for d=2; 1.162... for d=3; 1 for d=4.

(13)

定義所有步自避行走的均方位移為

			(14)
			(15)

以下極限被認為存在且是有限的

${lim_(n->infty)(s(n))/(n^(2nu)) for d!=4; lim_(n->infty)(s(n))/(n^(2nu)(lnn)^(1/4)) for d=4,$

(16)

其中對於臨界指數 (Madras 和 Slade 1993)，並且據推測

nu={3/4 for d=2; 0.59... for d=3; 1/2 for d=4.

(17)

另請參閱

隨機遊走, 自避行走

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Alm, S. E. "自避行走連線常數的上限。" Combin. Probab. Comput. 2, 115-136, 1993.Beyer, W. A. 和 Wells, M. B. "方格晶格上自避行走連線常數的下限。" J. Combin. Th. A 13, 176-182, 1972.Conway, A. R. 和 Guttmann, A. J. "方格晶格自避行走和標度修正。" Phys. Rev. Lett. 77, 5284-5287, 1996.Finch, S. R. "自避行走常數。" §5.10 in 數學常數。 英國劍橋：劍橋大學出版社，pp. 331-339, 2003.Madras, N. 和 Slade, G. 自避行走。 馬薩諸塞州波士頓：Birkhäuser, 1993.Noonan, J. "自避行走連線常數的新上限。" J. Stat. Phys. 91, 871-888, 1998.Pönitz, A. 和 Tittman, P. "

中自避行走的改進上限。" Electronic J. Combinatorics 7, No. 1, R21, 1-19, 2000. http://www.combinatorics.org/Volume_7/Abstracts/v7i1r21.html.

在上引用

自避行走連線常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "自避行走連線常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Self-AvoidingWalkConnectiveConstant.html

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