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諾伊曼多項式

多項式 O_n(x) 可以透過以下求和定義

O_n(x)=1/4sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n(n-k-1)!)/(k!)(1/2x)^(2k-n-1)
(1)

對於 n>=1，其中 |_x_| 是向下取整函式。 它們服從遞推關係

O_n(x)=-n/(n-2)O_(n-2)(x)+(2n)/xO_(n-1)(x)+(2(n-1))/((n-2)x)sin^2[1/2(n-1)pi]
(2)

對於 n>=3。 它們具有積分表示

O_n(x)=int_0^infty((u+sqrt(u^2+x^2))^n+(u-sqrt(u^2+x^2))^n)/(2x^(n+1))e^(-u)du,
(3)

和生成函式

1/(x-xi)=J_0(xi)x^(-1)+2sum_(n=1)^inftyJ_n(xi)O_n(x)
(4)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 990)，並且服從諾伊曼微分方程。

前幾個諾伊曼多項式由下式給出

O_0(x)=1/x
(5)
O_1(x)=1/(x^2)
(6)
O_2(x)=(x^2+4)/(x^3)
(7)
O_3(x)=(3x^2+24)/(x^4)
(8)
O_4(x)=(x^4+16x^2+192)/(x^5)
(9)

(OEIS A057869)。

另請參閱

諾伊曼微分方程, 施萊夫利多項式

使用 探索

參考文獻

Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. 高等超越函式，第 2 卷。 Krieger, pp. 32-33, 1981.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "諾伊曼和施萊夫利多項式: O_n(z) 和 S_n(z)." §8.59 in 積分、級數和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, pp. 989-991, 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A057869 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."von Seggern, D. CRC 標準曲線和曲面。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 196, 1993.Watson, G. N. 貝塞爾函數理論專著，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 298-305, 1966.

在 中被引用

諾伊曼多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "諾伊曼多項式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/NeumannPolynomial.html

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