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曼恩定理

曼恩定理是一個廣為流傳的定理，最初被稱為“alpha-beta 猜想”，後來由曼恩 (1942) 證明。它指出，如果 A 和 B 是各自包含 0 的整數集，則

sigma(A direct sum B)>=min{1,sigma(A)+sigma(B)}.

這裡，A direct sum B 表示直和，即 A direct sum B={a+b:a in A,b in B}, 並且 sigma 是施尼雷爾曼密度。

曼恩定理在某種意義上是最優的，即 A=B={0,1,11,12,13,...} 滿足 sigma(A direct sum B)=sigma(A)+sigma(B)。

曼恩定理暗示了施尼雷爾曼定理，如下所示。令 P={0,1} union {p:p prime}, 那麼曼恩定理證明了 sigma(P+P+P+P)>2sigma(P+P), 因此隨著包含越來越多的素數副本，施尼雷爾曼密度至少線性增加，因此最多達到 1 2·1/(sigma(P+P)) 素數的副本。由於施尼雷爾曼密度為 1 的集合是包含所有正整數的集合，因此施尼雷爾曼定理成立。

另請參閱

施尼雷爾曼密度, 施尼雷爾曼定理

此條目由 Kevin O'Bryant 貢獻

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參考文獻

Garrison, B. K. "A Nontransformation Proof of Mann's Density Theorem." J. reine angew. Math. 245, 41-46, 1970.Khinchin, A. Y. "The Landau-Schnirelmann Hypothesis and Mann's Theorem." Ch. 2 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 18-36, 1998.Mann, H. B. "A Proof of the Fundamental Theorem on the Density of Sets of Positive Integers." Ann. Math. 43, 523-527, 1942.

在 中被引用

曼恩定理

請引用為

O'Bryant, Kevin. "曼恩定理。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/MannsTheorem.html

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