紐結對稱性

紐結 的對稱性是 的同胚，它將 對映到自身。更簡潔地說，紐結對稱性是空間對 的同胚。Hoste 等人 (1998) 根據對稱性是否保持或反轉 和 的定向，考慮了四種類型的對稱性，

1. 保持 定向，保持 定向 (恆等運算),

2. 保持 定向，反轉 定向,

3. 反轉 定向，保持 定向,

4. 反轉 定向，反轉 定向。

這給出了下面表格中總結的五種可能的對稱性類別。

類別	對稱性	紐結對稱性
	1	手性的，不可逆的
	1, 3	雙手性的，不可逆的
	1, 4	雙手性的，不可逆的
	1, 2	手性的，可逆的
	1, 2, 3, 4	和 雙手性的，可逆的

對於雙曲紐結，對稱群必須是有限的，並且是迴圈群或二面體群 (Riley 1979, Kodama 和 Sakuma 1992, Hoste 等人 1998)。對於非雙曲紐結，分類稍微複雜一些。此外，所有交叉數 <=8 的紐結都是雙手性的或可逆的 (Hoste 等人 1998)。素交錯鏈環的任何對稱性在鏈環的任何交錯圖解中都必須是可見的 (Bonahon 和 Siebermann, Menasco 和 Thistlethwaite 1993, Hoste 等人 1998)。

以下表格 (Hoste 等人 1998) 給出了屬於迴圈對稱群 (Sloane 的 A052411 對於 和 A052412 對於 ) 和二面體對稱群 (Sloane 的 A052415 到 A052422) 的 n-交叉紐結的數量。在交叉數少於或等於 16 的紐結中，只有各一個紐結具有對稱群 , , 和 (左上方)。只有兩個紐結具有對稱群 ，一個雙曲的 (右上方)，另一個是衛星紐結。此外，分別有 2 個、4 個和 10 個具有 14-、15- 和 16-交叉數的衛星紐結，它們屬於二面體群 。

1	0	0	0	0
2	0	0	0	0
3	0	0	0	0
4	0	0	0	0
5	0	0	0	0
6	0	0	0	0
7	0	0	0	0
8	0	0	0	0
9	2	0	0	0
10	24	3	0	0
11	173	14	0	0
12	1047	57	0	0
13	6709	210	0	0
14	37177	712	0	2
15	224311	2268	1	0
16	1301492	7011	0	11

1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0	2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	4	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0
8	4	12	0	3	0	0	0	1	0	0	0	0
9	13	23	3	4	0	3	0	0	0	0	0	0
10	66	62	1	5	0	1	0	0	0	1	0	0
11	217	134	2	11	0	0	0	0	0	0	0	0
12	728	309	6	18	0	8	1	2	0	0	0	0
13	2391	647	1	21	2	3	1	2	0	0	0	0
14	7575	1463	4	31	2	2	0	0	0	0	1	0
15	23517	3065	50	53	3	12	0	2	1	4	0	0
16	73263	6791	15	89	0	10	1	8	1	1	0	1