Keith 數

Keith 數是一個 位 整數 ，使得如果一個類似斐波那契數列（其中序列中的每一項是前 項之和）由數字 項（取自數字 的十進位制數字）構成，那麼 本身會作為序列中的一項出現。例如，197 是一個 Keith 數，因為它生成序列 1, 9, 7, , , , , , ... (Keith)。Keith 數也稱為 repfigit（repetitive fibonacci-like digit）數。

除了窮舉搜尋外，沒有已知的通用技術可以找到 Keith 數。Keith 數比素數稀有得多，只有 84 個位數少於 位的 Keith 數。前幾個是 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... (OEIS A007629)。截至 2006 年 3 月 31 日，已知有 95 個 Keith 數 (Keith)。位數分別為 , 2, ... 的 Keith 數的數量為 0, 6, 2, 9, 7, 10, 2, 3, 2, 0, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 3, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 2, 4, 6, 3, ... (OEIS A050235)，如下表所示。

	位 Keith 數
2	14, 19, 28, 47, 61, 75
3	197, 742
4	1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909
5	31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993
6	120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993
7	1084051, 7913837
8	11436171, 33445755, 44121607
9	129572008, 251133297
10	（無）
11	24769286411 96189170155
12	171570159070, 202366307758, 239143607789, 296658839738
13	1934197506555, 8756963649152
14	43520999798747, 74596893730427, 97295849958669
15	120984833091531, 270585509032586, 754788753590897
16	3621344088074041, 3756915124022254, 4362827422508274
17	11812665388886672, 14508137312404344, 16402582054271374, 69953250322018194, 73583709853303061
18	119115440241433462, 166308721919462318, 301273478581322148
19	1362353777290081176, 3389041747878384662, 5710594497265802190, 5776750370944624064, 6195637556095764016
20	12763314479461384279, 27847652577905793413, 45419266414495601903
21	855191324330802397989
22	7657230882259548723593
23	26842994422637112523337, 36899277593852609997403, 61333853602129819189668
24	229146413136585558461227
25	9838678687915198599200604
26	18354972585225358067718266, 19876234926457288511947945, 98938191214220718050301312
27	153669354455482560987178342, 154677881401007799974564336, 133118411174059688391045955, 154140275428339949899922650, 295768237361291708645227474, 956633720464114515890318410, 988242310393860390066911414
28	9493976840390265868522067200
29	41796205765147426974704791528, 70267375510207885242218837404
30	127304146123884420932123248317, 389939548933846065763772833753, 344669719564188054170496150677, 756672276587447504826932994366, 534139807526361917710268232010
31	1598187483427964679092074853838, 2405620130870553672640058975437
32	41030306579725050560909919549414, 47824404246899742508216679149392, 42983394195992223818343905028410, 89980815134051887612993101615858
33	172451142646837728336412943204299, 193962639439026709638083447831059, 381933008901296879565658130750756, 359253598248137147666007355623218, 303294117104027490007126494842828, 312736110821858321305917486145434
34	1876178467884883559985053635963437, 2787674840304510129398176411111966, 5752090994058710841670361653731519

目前尚不清楚 Keith 數是否是無限的。

已知的素數 Keith 數為 19, 47, 61, 197, 1084051, 74596893730427, ... (OEIS A048970)。

26 位 Keith 數 98938191214220718050301312 是由 D. Lichtblau 於 2004 年發現的，他使用整數線性規劃來解決 Wolfram 語言中相關的丟番圖方程。D. Lichtblau 於 2009 年 6 月 23 日發現了所有 30 位和 31 位 Keith 數，並於 2009 年 8 月 26 日發現了所有 32 位、33 位和 34 位 Keith 數。其中最大的是 5752090994058710841670361653731519，這是截至 2009 年 8 月已知的最大 Keith 數。

類似地，反向 Keith 數或 revrepfigit（反向複製斐波那契式數字）數是一個 位整數 ，使得如果一個類似斐波那契數列（其中序列中的每一項是前幾項之和）由數字 的十進位制數字作為首項構成，那麼 的反轉會作為序列中的一項出現。例如，341 是一個 revrepfigit，因為它生成序列 3, 4, 1, , , , , , 。

目前已知的 revrepfigit 有 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691, 6615651, 6738984, 8366363, 8422611, 26435142, 54734431, 57133931, 79112422, 351247542, 428899438, 489044741, 578989902, 3207761244, 4156222103, 5426705064, 5785766973, 6336657062, 48980740972, 51149725354, 83626284302, 94183600081, 98665175305, 1935391095868, 6002181268035, 6334708806271, 12348924235856, 27488180694681, 76365591939888, 309217509306732, 352062080376812, 714692062325732, 723735537269331, 2437358882180001, 6792079280704301, 62244424802562056, 203414193894268461, 217049132946408803, 415499563488189604, 561624665953167171, ... (OEIS A097060；A. Vrba，私人通訊，2006 年 12 月 28 日)。請注意，沒有以零結尾的數字；它們是不允許的，因為零會在反轉時被刪除。但是允許使用內部零的項，例如 90711。已知的素數 revrepfigit 為 71、1593583 和 54734431 (A. Vrba，私人通訊，2006 年 12 月 28 日)。

目前尚不清楚是否存在無限多個 revrepfigit 數。