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Kac 公式

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KacFormula

如果係數是獨立且正態分佈的，則 實 零點的期望數 E_n 的一個 隨機多項式 的次數 n 由下式給出

E_n=1/piint_(-infty)^inftysqrt(1/((t^2-1)^2)-((n+1)^2t^(2n))/((t^(2n+2)-1)^2))dt
(1)
=4/piint_0^1sqrt(1/((1-t^2)^2)-((n+1)^2t^(2n))/((1-t^(2n+2))^2))dt.
(2)

（Kac 1943，Edelman 和 Kostlan 1995）。方程的另一種形式由下式給出

E_n=1/piint_(-infty)^inftysqrt([(partial^2)/(partialxpartialy)ln(1-(xy)^(n+1))/(1-xy)]_(x=y=t))dt
(3)

（Kostlan 1993，Edelman 和 Kostlan 1995）。上面的圖表顯示了被積函式 I_n(t) （左）和數值 E_n （右圖中的紅色曲線）對於小 n。前幾個值是 1, 1.29702, 1.49276, 1.64049, 1.7596, 1.85955, ....

當 n->infty 時，

E_n=2/pilnn+C_1+2/(pin)+O(n^(-2)),
(4)

其中

C_1=2/pi{ln2+int_0^infty[sqrt(1/(x^2)-(4e^(-2x))/((1-e^(-2x))^2))-1/(x+1)]dx}
(5)
=0.6257358072...
(6)

（OEIS A093601；右圖中的頂部曲線）。初始項由 Kac (1943) 推導得出。

另請參閱

隨機多項式

使用 探索

參考文獻

Edelman, A. 和 Kostlan, E. "有多少隨機多項式的零點是實數？" Bull. Amer. Math. Soc. 32, 1-37, 1995.Kac, M. "關於隨機代數方程的實根的平均數。" Bull. Amer. Math. Soc. 49, 314-320, 1943.Kac, M. "對 '關於隨機代數方程的實根的平均數' 的修正。" Bull. Amer. Math. Soc. 49, 938, 1943.Kostan, E. "關於隨機多項式中根的分佈。" 第 38 章，從拓撲學到計算：Smalefest 會議論文集 (Ed. M. W. Hirsch, J. E. Marsden, 和 M. Shub)。紐約：Springer-Verlag，pp. 419-431, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A093601 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

Kac 公式

引用為

Weisstein, Eric W. “Kac 公式。” 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/KacFormula.html

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