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積分符號下的積分

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積分符號下的積分是使用以下恆等式

int_a^bdxint_(alpha_0)^alphaf(x,alpha)dalpha=int_(alpha_0)^alphadalphaint_a^bf(x,alpha)dx
(1)

來計算積分。 例如，考慮

int_0^1x^alphadx=1/(alpha+1)
(2)

對於 alpha>-1。 乘以 dalpha 並在 a 和 b 之間積分得到

int_a^bdalphaint_0^1x^alphadx=int_a^b(dalpha)/(alpha+1)
(3)
=ln|(b+1)/(a+1)|.
(4)

但左側等於

int_0^1dxint_a^bx^alphadalpha=int_0^1(x^b-x^a)/(lnx)dx,
(5)

因此得出

int_0^1(x^b-x^a)/(lnx)dx=ln((b+1)/(a+1))
(6)

(Woods 1926, pp. 145-146)。

參見

積分, 積分符號, 積分, 萊布尼茨積分法則

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參考文獻

Woods, F. S. "積分符號下的積分。" §61 in 高等微積分：為應用數學專業學生的需求安排的課程。 Boston, MA: Ginn, pp. 145-146, 1926。

在 上引用

積分符號下的積分

引用為

Weisstein, Eric W. "積分符號下的積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/IntegrationUndertheIntegralSign.html

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