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赫恩函式

赫恩函式是超幾何函式的推廣，出現在量子力學、數學物理和其他應用中。赫恩函式有多種型別。下表總結了其中一些型別及其在 Wolfram 語言 中的實現。

型別函式導函式
一般HeunGHeunGPrime
合流HeunCHeunCPrime
雙合流HeunDHeunDPrime
雙共流HeunBHeunBPrime
三合流HeunTHeunTPrime
拉梅 CLameCLameCPrime
拉梅 SLameSLameSPrime

H_G(a,q,alpha,beta,gamma,delta,z) 滿足一般赫恩微分方程

z(z-1)(z-a)y^('')+((z-1)(z-a)gamma+z(z-a)delta+z(z-1)(1+alpha+beta-gamma-delta))y^'+(alphabetaz-q)y=0.
(1)

H_C(q,alpha,gamma,delta,epsilon,z) 滿足合流赫恩微分方程

z(z-1)y^('')+(gamma(z-1)+deltaz+z(z-1)epsilon)y^'+(alphaz-q)y=0,
(2)

H_D(q,alpha,gamma,delta,epsilon,z) 滿足雙合流赫恩微分方程

z^2y^('')+(gamma+deltaz+epsilonz^2)y^'+(alphaz-q)y=0,
(3)

H_B(q,alpha,gamma,delta,epsilon,z) 滿足雙共流赫恩微分方程

zy^('')+(gamma+deltaz+epsilonz^2)y^'+(alphaz-q)y=0.,
(4)

H_T(q,alpha,gamma,delta,epsilon,z) 滿足三合流赫恩微分方程

y^('')+(gamma+deltaz+epsilonz^2)y^'+(alphaz-q)y=0,
(5)

L_C(nu,j,z,m) 滿足拉梅微分方程

y^('')+[h-nu(nu+1)msn^2(z,k)]y=0,
(6)

和 L_S(nu,j,z,m) 滿足拉梅微分方程

y^('')+[h-nu(nu+1)msn^2(z,k)]y=0,
(7)

其中在後兩者中，sn(u,k) 是具有 雅可比橢圓函式 橢圓模量 k。

另請參閱

赫恩微分方程, 拉梅微分方程, 黎曼 P-微分方程, 第一類橢球諧函式, 第二類橢球諧函式

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參考文獻

Heun, K. "Zur Theorie der Riemann'schen Functionen Zweiter Ordnung mit Verzweigungspunkten." Math. Ann. 33, 161-179, 1889.

引用為

Weisstein, Eric W. "赫恩函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HeunFunctions.html

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