主題
Search

格羅斯曼常數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook
GrossmansConstant

定義序列 a_0=1, a_1=x, 以及

a_n=(a_(n-2))/(1+a_(n-1))
(1)

對於 n>=0。 前幾個值是

a_2=1/(1+x)
(2)
a_3=(x(1+x))/(2+x)
(3)
a_4=(2+x)/((1+x)(2+2x+x^2))
(4)
a_5=(x(1+x)^2(2+2x+x^2))/((2+x)(4+5x+3x^2+x^3)).
(5)

Janssen 和 Tjaden (1987) 表明，該序列僅當 一個 值 x=c 時收斂，其中 c=0.73733830336929... (OEIS A085835)，證實了格羅斯曼的猜想。 然而，對於這個常數，無論是作為函式的根，還是作為其他常數的組合，都還沒有已知的解析形式。 上圖顯示了 a_n 從 n=1 到 30 的前幾次迭代，其中奇數 n 以紅色顯示，偶數 n 以藍色顯示，x 的範圍從 0 到 1。 可以看出，解根據奇偶性交替。 對於每個固定的 x<c，紅色值趨於 0，而藍色值趨於某個正數。

Nyerges (2000) 將遞推關係推廣到函式方程

x=[1+F(x)]F^2(x).
(6)

參見

Foias 常數

使用 探索

參考文獻

Ewing, J. and Foias, C. "An Interesting Serendipitous Real Number." In Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma (Ed. C. Caluse and G. Păun). London: Springer-Verlag, pp. 119-126, 2000.Finch, S. R. "Grossman's Constant." §6.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 429-430, 2003.Grossman, J. W. "Problem 86-2." Math. Intel. 8, 31, 1986.Janssen, A. J. E. M. and Tjaden, D. L. A. Solution to Problem 86-2. Math. Intel. 9, 40-43, 1987.Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm#grossman.Nyerges, G. "The Solution of the Functional Equation x=(1+F(x))F^2(x)." Preprint, Oct. 19, 2000. http://eent3.sbu.ac.uk/Staff/nyergeg/www/etc/fneq.pdf.Sloane, N. J. A. Sequence A085835 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

格羅斯曼常數

引用為

Weisstein, Eric W. “格羅斯曼常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GrossmansConstant.html

主題分類