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高斯分圓公式

設 p>3 為一個素數，則

4(x^p-y^p)/(x-y)=R^2(x,y)-(-1)^((p-1)/2)pS^2(x,y),

其中 R(x,y) 和 S(x,y) 是關於 x 和 y 的齊次多項式，其 係數 為整數。高斯 (1965, p. 467) 給出了至多 p=23 的 R 和 S 的係數。

Kraitchik (1924) 將高斯公式推廣到奇無平方數整數 n>3。那麼高斯公式可以寫成稍微簡單的形式

4Phi_n(z)=A_n^2(z)-(-1)^((n-1)/2)nz^2B_n^2(z),

其中 A_n(z) 和 B_n(z) 具有整數係數，並且分別是 phi(n)/2 和 phi(n)/2-2 度，其中 phi(n) 是尤拉函式，Phi_n(z) 是一個分圓多項式。此外，如果 n 是偶數，則 A_n(z) 是對稱的；否則它是反對稱的。在大多數情況下，B_n(z) 是對稱的，但如果 n 是 形如 4k+3，則它是反對稱的 (Riesel 1994, p. 436)。下表給出了前幾個 A_n(z) 和 B_n(z) (Riesel 1994, pp. 436-442)。

nA_n(z)B_n(z)
52z^2+z+21
72z^3+z^2-z-2z+1
112z^5+z^4-2z^3+2z^2-z-2z^3+1

另請參閱

Aurifeuillean 分解, 分圓多項式, 盧卡斯定理

使用 探索

參考文獻

高斯, C. F. §356-357 in 高等算術研究。 紐約: Chelsea, pp. 425-428 和 467, 1965.Kraitchik, M. 數論研究，第一卷。 巴黎: Gauthier-Villars, pp. 93-129, 1924.Kraitchik, M. 數論研究，第二卷。 巴黎: Gauthier-Villars, pp. 1-5, 1929.Riesel, H. "分圓多項式的高斯公式。" 在 素數與因子分解的計算機方法，第二版。 波士頓, MA: Birkhäuser, pp. 436-442, 1994.

在 上引用

高斯分圓公式

請引用為

Weisstein, Eric W. "高斯分圓公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GausssCyclotomicFormula.html

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