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擴張單子

設 X 為 始元素 的集合，設 V(^*X) 為 超結構 V(X) 的擴大。設 A in V(X) 為具有有限多個基本運算的有窮代數。則 A 的擴張單子（在 V(^*X) 中）是 ^*A 的（通常為外部的）子代數，其由下式給出

A^^= intersection {B<=^*A:B is an internal extension of A}.
(1)

可以證明，對於任何這樣的代數 A，我們有

A^^= intersection {B<=^*A:B is an internal hyperfinitely generated extension of A} = union {H<=^*A:H is internally generated by a finite subset of A}
(2)

並且對於擴張單子，還有其他幾個有趣的表徵成立。

以下是一些涉及擴張單子的結果

1. 代數 A 是區域性有限的，當且僅當 A^^=A。

2. 對於任何代數，以下是等價的：A 是有限生成的，A^^=^*A，並且 A^^ 是內部的。

3. 設 A 和 B 為代數，phi 為從 A 到 B 的函式。則 phi 是同態當且僅當 ^*phi 在 A^^ 上的限制 phi^^ 是同態。

4. 對於代數 A_1, ...A_n，我們有

product_(j=1)^nA_j^^=product_(j=1)^nA^^_j.
(3)

參見

超結構, 始元素

此條目由 Matt Insall 貢獻 (作者連結)

使用 探索

參考文獻

Albeverio, S.; Fenstad, J.; Hoegh-Krohn, R.; and Lindstrøom, T. Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics. New York: Academic Press, 1986.Gehrke, M.; Kaiser, K.; and Insall, M. "Some Nonstandard Methods Applied to Distributive Lattices." Zeitschrifte für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 36, Hurd, A. E. and Loeb, P. A. An Introduction to Nonstandard Real Analysis. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Insall, M. "Nonstandard Methods and Finiteness Conditions in Algebra." Zeitschr. f. Math., Logik, und Grundlagen d. Math. 37, 525-532, 1991.Insall, M. "Some Finiteness Conditions in Lattices Using Nonstandard Proof Methods." J. Austral. Math. Soc. 53, 266-280, 1992.Luxemburg, W. A. J. Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1969.Robinson, A. Nonstandard Analysis. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1966.

在 中引用

擴張單子

引用為

Insall, Matt. "擴張單子。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/ExtensionMonad.html

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