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橢圓切線

EllipseNormal

在橢圓上一點 P 相交 於橢圓上的另一點 Q。對應於 Q 的角度可以透過解方程求得

(P-Q)·(dP)/(dt)=0
(1)

求 t^'，其中 P(t)=(acost,bsint) 且 Q(t)=(acost^',bsint^')。這給出解

t^'=+/-cos^(-1)[+/-(N(t))/(a^4sin^2t+b^4cos^2t)],
(2)

其中

N(t)=1/2b^2cost[a^2+b^2+(b^2-a)^2cos(2t)]+a^2(a-b)(a+b)costsin^2t,
(3)

其中 (+,-) 給出有效解。將其代入以獲得 Q，則給出

d(t)=|P-Q|
(4)
=(sqrt(2)ab[a^2+b^2+(b^2-a^2)cos(2t)]^(3/2))/(a^4+b^4+(b^4-a^4)cos(2t))
(5)
=(2ab(b^2cos^2t+a^2sin^2t)^(3/2))/(b^4cos^2t+a^4sin^2t).
(6)

為了找到最大距離，求導並令其等於零，

d^'(t)=(2ab(a-b)(a+b)costsintsqrt(b^2cos^2t+a^2sin^2t))/((b^4cos^2t+a^4sin^2t)^2)×(a^4sin^2t+b^4cos^2t-2a^2b^2)=0,
(7)

這簡化為

a^4sin^2t+b^4cos^2t-2a^2b^2=0.
(8)

代入 sin^2t 並求解得到

cos^2t=(a^4-2a^2b^2)/(a^4-b^4)
(9)
sin^2t=(2a^2b^2-b^4)/(a^4-b^4).
(10)

將這些代入 d(t)，則給出

d_(min)=(3sqrt(3)a^2b^2)/((a^2+b^2)^(3/2)).
(11)

這個問題在 1912 年宮城縣的一塊算額問題木牌上給出 (Rothman 1998)。可能存在一個不需要微積分的巧妙解法，但原始作者的解法是否使用了微積分尚不清楚 (Rothman 1998)。

另請參閱

橢圓

使用 探索

參考文獻

Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.

在 中被引用

橢圓切線

請引用為

Weisstein, Eric W. "Ellipse Tangent." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/EllipseTangent.html

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