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Beta 指數函式

BetaExp

另一個用積分定義的“beta 函式”是“指數”beta 函式，定義為

beta_n(z)=int_(-1)^1t^ne^(-zt)dt
(1)
=n!z^(-(n+1))[e^zsum_(k=0)^(n)((-1)^kz^k)/(k!)-e^(-z)sum_(k=0)^(n)(z^k)/(k!)].
(2)

如果 n 是一個整數，則

beta_n(z)=(-1)^(n+1)E_(-n)(-z)-E_(-n)(z),
(3)

其中 E_n(z) 是 En-函式。 指數 beta 函式滿足 遞推關係

zbeta_n(z)=(-1)^ne^z-e^(-z)+nbeta_(n-1)(z).
(4)

當 n=0, 1 和 2 時的值是

beta_0(z)=(2sinhz)/z
(5)
beta_1(z)=(2(sinhz-zcoshz))/(z^2)
(6)
beta_2(z)=(2(2+z^2)sinhz-4zcoshz)/(z^3).
(7)

另請參閱

Alpha 函式, En-函式

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “Beta 指數函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BetaExponentialFunction.html

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