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鮑爾恆等同餘

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令 T(m) 表示小於且與 m 互質的 phi(m) 個數的集合，其中 phi(n) 是尤拉函式。定義

f_m(x)=product_(t in T(m))(x-t).
(1)

那麼拉格朗日定理指出

f_p(x)=x^(phi(p))-1 (mod p)
(2)

對於 p 奇素數 (Hardy and Wright 1979, p. 98)。 實際上，這種關係也適用於一些合數值。 適用此關係的值為 n=1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (OEIS A158008)。

這可以推廣如下。 令 p 為 m 的奇素數因子，且 p^a 為整除 m 的最高次冪，則

f_m(x)=(x^(p-1)-1)^(phi(m)/(p-1)) (mod p^a)
(3)

特別地，

f_(p^a)(x)=(x^(p-1)-1)^(p^(a-1)) (mod p^a).
(4)

現在，如果 m>2 是偶數且 2^a 是整除 m 的 2 的最高次冪，則

f_m(x)=(x^2-1)^(phi(m)/2) (mod 2^a)
(5)

特別地，

f_(2^a)(x)=(x^2-1)^(2^(a-2)) (mod 2^a).
(6)

另請參閱

同餘, Leudesdorf 定理

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參考文獻

Bauer. Nouvelles annales 2, 256-264, 1902.Hardy, G. H. and Wright, E. M. J. London Math. Soc. 9, 38-41 and 240, 1934.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Bauer's Identical Congruence." §8.5 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 98-100, 1979.Sloane, N. J. A. Sequence A158008 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

鮑爾恆等同餘

請引用為

Weisstein, Eric W. "鮑爾恆等同餘。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BauersIdenticalCongruence.html

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