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Vallée 常數

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考慮比較兩個實數 x 和 y 的問題，基於它們的 連分數 表示。那麼確定 x<y 或 x>y 所需的平均迭代次數由下式給出

<N>=3/4+(180)/(pi^4)sum_(i=1)^(infty)sum_(j=i+1)^(2i)1/(i^2j^2)
(1)
=(17)/4+(360)/(pi^4)sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(i)((-1)^i)/(i^2j^2)
(2)
=17-(60)/(pi^4)[24Li_4(1/2)-pi^2ln^22+21zeta(3)ln2+ln^42]
(3)
=1.3511315744...
(4)

(OEIS A143303; Finch 2003, p. 161)，其中 Li_4(x) 是一個 多對數函式。

令 p_n=P(N>=n+1)，則前幾個值可以由下式給出

p_1=sum_(i=1)^(infty)1/(i^2(i+1)^2)
(5)
=1/3pi^2-3
(6)
=0.2898681336...
(7)
p_2=sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)1/((ij+1)^2(ij+i+1)^2)
(8)
=-5+2/3pi^2-2zeta(3)+2sum_(n=0)^(infty)(-1)^n(n+1)zeta(n+4)[zeta(n+2)-1]
(9)
=0.0484808014...
(10)
p_3=sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)sum_(k=1)^(infty)1/((ijk+i+k)^2(ijk+ij+i+k+1)^2)
(11)
=0.0102781647....
(12)

該值

v=lim_(n->infty)p_n^(1/n)=0.1994588183...
(13)

(OEIS A143302) 隨後被稱為 Vallée 常數 (Finch 2003, p. 161)。

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "Hall-Montgomery 常數。" 《數學常數》§2.33。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 205-207, 2003.Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A143302 和 A143303。

在 中引用

Vallée 常數

引用為

Weisstein, Eric W. “Vallée 常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ValleeConstant.html

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