設 
為一個 並閉集，則並閉集猜想指出，存在一個元素，它至少屬於 
個 
中的集合。Sarvate 和 Renaud (1989) 表明，如果 
，其中 
是 
中最小的集合，或者如果 
，則該猜想成立。他們還表明，如果該猜想不成立，則 
，其中 
是 
中最大的集合。
此後，對於 
最大到 18 (Sarvate 和 Renaud 1990)、24 (Lo Faro 1994a)、27 (Poonen 1992)、32 (Gao 和 Yu 1998) 以及已知的最佳結果 40 (Roberts 1992)，這些結果得到了改進。
對於 
具有 2-元素集合的情況，證明可以如下進行。令 
，然後根據集合與 
的交集是 
、
、
還是 
，將 
的集合劃分為四個不相交的族 
、
、
和 
。由此得出 
，透過與 
取並集得到，其中 
是 基數 
。現在比較 
和 
。如果 
，則 
，因此 
至少在 
的一半集合中。類似地，如果 
，則 
至少在一半的集合中（Hoey，私人通訊）。
遺憾的是，這種證明方法不能擴充套件到 
，因為 Sarvate 和 Renaud 展示了一個 並閉集 的例子，其中 
，
、
、
都不在集合的一半中。然而，在這些情況下，存在其他元素確實出現在集合的一半中，因此這不是對該猜想的反例，而只是對上述證明方法的限制（Hoey，私人通訊）。
