Steffi 問題

2003 年 1 月，Steffi 的數學課上提出了一個家庭作業問題，要求學生證明，透過排列數字 1, 2, ..., 7 的所有數字而獲得的任意兩個不相等數字的比率都不會得到整數。如果存在這樣的比率 ，那麼 1234567 的某種排列必須能被 整除。 可以立即被限制在 ，因為前七個數字的兩個排列的比率必須小於 ，並且宣告排列是不相等的，所以 。r=3 的情況可以透過 整除性檢驗 來排除，該檢驗表明一個數字能被 3 整除當且僅當其各位數字之和能被 3 整除。由於數字 1 到 7 的總和是 28，不能被 3 整除，因此這些數字的任何排列都不能被 3 整除。這也排除了 的可能性，因為一個數字必須能被 3 整除才能被 6 整除。

這僅剩下 、4 和 5 的情況需要考慮。 的情況可以排除，因為為了能被 5 整除，分子和分母的最後一位數字必須分別為 5 和 1

(1)

那麼，可以獲得的最大可能比率將使用分子中最大的可能數字和分母中最小的可能數字，即

(2)

但是 ，所以不可能構造一個能被 5 整除的分數。因此，現在只需要考慮 和 4。

一般來說，考慮所有數字 在基數 () 的不相等排列對的數量，其比率為整數。那麼存在一個唯一的 解

(3)

一個唯一的 解

(4)

三個 解

			(5)
			(6)
			(7)

等等。

下表總結了前幾個基數和數字位數 的解的數量 (OEIS A080202)。

	數字 , , ..., 的解
3	0
4	0, 1
5	0, 0, 1
6	0, 0, 3, 25
7	0, 0, 0, 2, 7
8	0, 0, 0, 0, 68, 623
9	0, 0, 0, 0, 0, 124, 1183
10	0, 0, 0, 0, 0, 0, 2338, 24603
11	0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 598, 5895
12	0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 161947, 2017603

從表中可以看出，在基數 10 中，唯一的解是對於數字 12345678 和 123456789。在 的解中，有兩個解對於相同的分子產生三個不同的整數

			(8)
			(9)

從列表中取對角線項 ，對於 , 4, ...，得到序列 0, 1, 1, 25, 7, 623, 1183, 24603, ... (OEIS A080203)。