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簡諧運動--二次擾動

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給定一個帶有二次擾動的簡諧振子，將擾動項寫成 alphaepsilonx^2,

x^..+omega_0^2x-alphaepsilonx^2=0,
(1)

使用微擾方法找到一階解。寫成

x=x_0+epsilonx_1+...,
(2)

並代回 (1) 式，合併同類項得到

(x^.._0+omega_0^2x_0)+(x^.._1+omega_0^2x_1-alphax_0^2)epsilon+2alphax_0epsilon^2+....
(3)

為了解這個方程，僅保留到 epsilon^2 階的項，並注意到，由於該方程必須對 powers of epsilon 的所有冪次都成立，我們可以將其分離成兩個聯立的微分方程

x^.._0+omega_0^2x_0=0
(4)
x^.._1+omega_0^2x_1=alphax_0^2.
(5)

設定我們的時鐘使得 x_0(0)=0，則 (4) 式的解為

x_0=Acos(omega_0t).
(6)

將這個解代回 (5) 式，得到

x^.._1+omega_0^2x_1=alphaA^2cos^2(omega_0t).
(7)

該方程可以求解得到

x_1=(alphaA^2)/(6omega_0^2)[3-cos(2omega_0t)]+C_1cos(omega_0t)+C_2sin(omega_0t),
(8)

將 x_0 和 x_1 組合得到

x(t)=x_0+epsilonx_1
(9)
=Acos(omega_0t)-(alphaA^2)/(6omega_0^2)epsilon[cos(2omega_0t)-3],
(10)

其中，與來自 x_0 的較大項相比，階數為 epsilon 的正弦和餘弦項（來自 x_1）已被忽略。

SHOPerturbed

正如在上面的頂部圖中可以看到的那樣，該解僅在 epsilon<<1 時近似於 x(t)。正如較低的圖所示，即使對於相對較小的 epsilon 值，與未擾動振盪器的差異也會隨著時間推移而增大。

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “簡諧運動--二次擾動。” 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/SimpleHarmonicMotionQuadraticPerturbation.html

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