分配問題

一個問題，也稱為點數問題或未完成的遊戲。考慮一個涉及 名玩家重複進行同一遊戲的錦標賽。每場比賽只有一個獲勝者，用 表示玩家 在某個時刻 贏得的比賽次數。比賽是獨立的，玩家 贏得比賽的機率是 。錦標賽規定要持續到一名玩家贏得 場比賽為止。如果錦標賽在任何玩家贏得 場比賽之前中止，以至於 對於 , ..., ，獎金應如何分配，以便根據玩家獲勝的機會按比例分配？

對於玩家 ，將剩餘需要贏得的比賽數 稱為“配額”。對於兩名玩家，設 和 為單場比賽的獲勝機率， 和 為每位玩家贏得錦標賽所需的比賽數。那麼，賭注應按比例 分配，其中

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(Kraitchik 1942年)。

如果 名玩家獲勝機率相等（“單元機率”），那麼玩家 在配額 , ..., 下獲勝的機率是

(3)

其中 是 2D 型 狄利克雷積分。同樣，玩家 失敗的機率是

(4)

其中 是 2C 型 狄利克雷積分。如果單元配額不相等，則必須使用一般狄利克雷積分 ，其中

(5)

如果 且 ，那麼 和 簡化為 ，這是必然的。設 為聯合機率，即如果比賽完成，玩家將按照引數列表中的 s 順序進行 統計排名。對於 ，

(6)

對於 ，配額向量為 且 ，

(7)

Sobel 和 Frankowski (1994, p. 838) 給出了 的表示式。