分離公理

拓撲空間 的五個性質的列表，表達了開放集“population（群體）”的豐富程度。更準確地說，它們每個都告訴我們一個閉子集可以被一個開放集包裹得多麼緊密。緊密程度的衡量標準是這個包絡可以將子集與其他子集分離的程度。從 0 到 4 的編號表示分離程度的增加。

0. T0 分離公理：對於任意兩個點 ，存在一個開放集 ，使得 且 或 且 。

1. T1 分離公理：對於任意兩個點 ，存在兩個開放集 和 ，使得 且 ，並且 且 。

2. T2 分離公理：對於任意兩個點 ，存在兩個開放集 和 ，使得 ， ，並且 。

3. T3 分離公理： 滿足 並且是正則的。

4. T4 分離公理： 滿足 並且是正規的。

一些作者（例如，Cullen 1968，第 113 頁和 118 頁）互換了公理 和正則性，以及公理 和正規性。

滿足 的 拓撲空間 簡稱為 -空間。在 Alexandroff 和 Hopf (1972) 的術語中，-空間也稱為柯爾莫哥洛夫空間，-空間是弗雷歇空間，-空間是豪斯多夫空間，-空間是 Vietoris 空間，以及 -空間是 Tietze 空間。這些名稱也可以指拓撲結構。

滿足其中一個公理的拓撲空間也滿足所有先前的公理，因為 。這些蘊含關係通常都不能逆轉。只有在附加假設下才有可能。例如，正則 -空間是 ，而緊緻 -空間是 (McCarty 1967, p. 145)。度量拓撲總是 ，而具有至少兩個元素的空間上的平凡拓撲甚至不是 。一個拓撲是 但不是 的例子是其開放集為實數線的區間 。給定兩個不同的實數 ，如果 ，則 ，但 。這表明公理 得到滿足。公理 不滿足，因為它很容易證明 為真當且僅當所有單點集都是閉集。因此， 的 Zariski 拓撲是 。然而，它不是 ，因為兩個開放集的交集始終是非空的。

請注意，在此上下文中，“axiom（公理）”一詞並非用作理論的“principle（原則）”的含義，後者必然需要被假定，而是用作定義中包含的“requirement（要求）”的含義，後者可以滿足或不滿足，取決於具體情況。