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Ruth-Aaron 數對

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Ruth-Aaron 數對是一對連續的數字 (n,n+1) 使得 素因子 的和 n 和 n+1 相等。 它們的命名靈感來源於 (714, 715) 這對數字，它們分別對應於漢克·阿倫在 1974 年 4 月 8 日打破紀錄的第 715 次本壘打，打破了貝比·魯斯早先的 714 次記錄 (Pomerance 2002; Hoffman 1998, pp. 179-181)。 它們的因式分解為

714=2·3·7·17
(1)
715=5·11·13,
(2)

並且 2+3+7+17=5+11+13=29。

如果不計算重數（例如，2^3 的因子只算作一個 2），那麼給出 Ruth-Aaron 數對的前幾個 ns 是 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, ... (OEIS A006145)，對應的和為 5, 5, 7, 18, 15, 20, 44, 46, 29, ... (OEIS A006146)。

如果計算重數（例如，2^3 的因子算作 2·2·2），那麼給出 Ruth-Aaron 數對的前幾個 ns 是 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, ... (OEIS A039752)，對應的和為 5, 6, 8, 18, 15, 29, 86, ... (OEIS A054378)。 小於 10^1 的這種 n 的數量，2, ... 是 2, 4, 7, 20, 57, 149, 523, ... (OEIS A101805)。

Nelson 等人 (1974) 表明，辛澤爾關於多項式同時素數值的猜想，即所謂的“辛澤爾假設 H”，將意味著存在無限多個 Ruth-Aaron 數對。 儘管霍夫曼聲稱埃爾德什給出了一個錯誤的證明 (1998, pp. 180-181)，但這個猜想仍然是開放的 (Pomerance 2002)。

Nelson 等人 (1974) 還推測 Ruth-Aaron 數對是稀疏的（即密度為 0），這個猜想後來被 Erdős 和 Pomerance (1978) 證明，他們表明如果 Ruth-Aaron 數定義為數字 n 使得 S(n)=S(n+1) 其中 S(n) 是 n 的素因子之和（計入重數），那麼小於 x 的 Ruth-Aaron 數的數量是

O(xlnlnxlnlnlnx/lnx)
(3)

這可以改進為 O(x/lnx)。 Pomerance (2002) 隨後將這個界限改進為

O(x(lnlnx)^4/(lnx)^2),
(4)

因此，確定了 Ruth-Aaron 數的倒數之和是有界的這一事實。 事實上，

sum_(n is a Ruth-Aaron number)1/n approx 0.4207.
(5)

另請參閱

棒球, 賽伯計量學

使用 探索

參考文獻

Babai, L.; Pomerance, C. and Vértesi, P. "The Mathematics of Paul Erdős." Notices Amer. Math. Soc. 45, 19-23, 1998.Drost, J. L. "Ruth/Aaron Pairs." J. Recr. Math. 28, No. 2, pp. 120-122.Erdős, P. and Pomerance, C. "On the Largest Prime Factors of n and n+1." Aeq. Math. 17, 311-321, 1978.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Mackenzie, D. "Mathematics: Homage to an Itinerant Master." Science 275, 759, 1997.Nelson, C.; Penney, D. E.; and Pomerance, C. "714 and 715." J. Recr. Math. 7, 87-89, 1974.Peterson, I. "Ivars Peterson's MathLand: Playing with Ruth-Aaron Pairs." http://www.maa.org/mathland/mathland_6_30.html.Peterson, I. "MathTrek: Playing with Ruth-Aaron Pairs." Sci. News 168, Aug. 6, 2005. http://www.sciencenews.org/articles/20050806/mathtrek.asp.Pomerance, C. "Ruth-Aaron Numbers Revisited." In Paul Erdős and his Mathematics. I. Papers from the Conference Held in Budapest, July 4-11, 1999 (Ed. G. Halász, L. Lovász, M. Simonovits, and V. T. Sós). Berlin: Springer-Verlag, pp. 567-579, 2002. http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/carlp/PS/aaron6.ps.Sloane, N. J. A. Sequences A006145, A006146, A039752, A054378, and A101805 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中引用

Ruth-Aaron 數對

引用為

Weisstein, Eric W. "Ruth-Aaron 數對。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Ruth-AaronPair.html

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