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拉馬努金求和恆等式

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給定由以下定義的生成函式

(1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=1)^(infty)a_nx^n
(1)
(2-26x-12x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=0)^(infty)b_nx^n
(2)
(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=0)^(infty)c_nx^n
(3)

(OEIS A051028、A051029 和 A051030)，則

a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n.
(4)

Hirschhorn (1995) 證明了

a_n=1/(85)[(64+8sqrt(85))alpha^n+(64-8sqrt(85))beta^n-43(-1)^n]
(5)
b_n=1/(85)[(77+7sqrt(85))alpha^n+(77-7sqrt(85))beta^n+16(-1)^n]
(6)
c_n=1/(85)[(93+9sqrt(85))alpha^n+(93-9sqrt(85))beta^n-16(-1)^n],
(7)

其中

alpha=1/2(83+9sqrt(85))
(8)
beta=1/2(83-9sqrt(85)).
(9)

Hirschhorn (1996) 證明了檢驗前七種情況 n=0 到 6 足以證明結果。

使用 探索

參考文獻

Hirschhorn, M. D. “拉馬努金的一個驚人恆等式。”數學雜誌68, 199-201, 1995。Hirschhorn, M. D. “Zeilberger 精神證明的拉馬努金的一個驚人恆等式。”數學雜誌69, 267-269, 1996。Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A051028、A051029 和 A051030。

在 上被引用

拉馬努金求和恆等式

請引用為

Weisstein, Eric W. “拉馬努金求和恆等式。”來自 —— 資源。https://mathworld.tw/RamanujansSumIdentity.html

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