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尼文常數

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給定一個 正整數 m>1，設其素數分解為

m=p_1^(a_1)p_2^(a_2)p_3^(a_3)...p_k^(a_k).
(1)

定義函式 h(n) 和 H(n) 為 h(1)=1, H(1)=1, 以及

h(m)=min(a_1,a_2,...,a_k)
(2)
H(m)=max(a_1,a_2,...,a_k).
(3)

h(m) 的前幾項是 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, ... (OEIS A051904)，而 H(m) 的前幾項是 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, ... (OEIS A051903)。

NivensConstantMin

那麼 h(m) 的平均值趨於

lim_(n->infty)1/nsum_(m=1)^nh(m)=1.
(4)

這裡，執行平均值由 1/2, 2/3, 3/4, 1, 1, 1, 1, 11/9, 13/10, 14/11, 5/4, 16/13, ... (OEIS A086195 和 A086196) 給出。

NivensConstantMinScaled

此外，比率

lim_(n->infty)(sum_(m=1)^(n)h(m)-n)/(sqrt(n))=(zeta(3/2))/(zeta(3)),
(5)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函式 (Niven 1969)。

NivensConstantMax

尼文 (1969) 也證明了

lim_(n->infty)1/nsum_(m=1)^nH(m)=C,
(6)

其中尼文常數 C 由下式給出

C=1+{sum_(j=2)^infty[1-1/(zeta(j))]}=1.705211...
(7)

(OEIS A033150)。這裡，執行平均值由 1/2, 2/3, 3/4, 1, 1, 1, 1, 11/9, 13/10, 14/11, 5/4, 17/13, ... (OEIS A086197 和 A086198) 給出。

尼文常數的連分數是 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 3, 4, 4, 8, 4, 1, ... (OEIS A033151)。數字 1, 2, ... 首次出現在連分數中的位置是 1, 3, 10, 7, 47, 41, 34, 13, 140, 252, 20, ... (OEIS A033152)。連分數中最大項的序列是 1, 2, 4, 8, 11, 14, 29, 372, 559, ... (OEIS A033153)，它們出現在位置 1, 3, 7, 13, 20, 35, 51, 68, 96, ... (OEIS A033154)。

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參考文獻

Finch, S. R. "尼文常數。" §2.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 112-115, 2003.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 41, 1983.Niven, I. "整數因子分解中指數的平均值。" Proc. Amer. Math. Soc. 22, 356-360, 1969.Sloane, N. J. A. "整數序列線上百科全書" 中的序列 A033150, A033151, A033152, A033153, A033154, A051903, A051904, A086195, A086196, A086197, and A086198.

在 中被引用

尼文常數

引用為

Weisstein, Eric W. "尼文常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/NivensConstant.html

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