猴子和椰子問題

一個 丟番圖 問題（即，其解必須用 整數 表示）旨在尋求以下問題的解。給定 個人和一堆椰子，每個人按順序取走前一個人取走後剩餘椰子的 （即，第一個人取 ，第二個人取 ，...，最後一個人取 ），並拿出 個椰子（問題中指定每個人都是相同的數量）給猴子，這些椰子無法被猴子均分。當所有 個人都這樣分配後，他們將剩餘的椰子分成 份（即，每個人再取走 個椰子），並將剩餘的 個椰子給猴子。如果每次分配給猴子的數量 都相同，那麼最初有多少個椰子 ？ 該問題的解等價於解 個 丟番圖方程

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

可以被重寫為

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

由於在 個方程中，有 個 未知數 , , ..., , , 和 ，所以解空間是一維的（即，存在由單個值引數化的無限解族）。這些方程的解可以由下式給出

(12)

其中 是任意 整數 (Gardner 1961)。

對於 n=5 個人和 m=1 個剩餘椰子的特殊情況，這 6 個方程可以組合成單個 丟番圖方程

(13)

其中 是最後一次分配中每個人得到的數量。 在這種情況下，最小的正整數解是 個椰子，對應於 和 (Gardner 1961)。下表顯示了根據上述方案如何分配這個相當大的椰子數量。

取走	給猴子	剩餘
	1
	1
	1
	1
	1
	1	0

如果在最後 份分配後沒有椰子留給猴子 (Williams 1926)，那麼最初的椰子數量是

(14)

對於 n=5 和 m=1 的情況，最小的正整數解是 個椰子，對應於 和最後分配中的 個椰子 (Gardner 1961)。下表顯示了這些椰子是如何分配的。

取走	給猴子	剩餘
624	1
499	1
399	1
319	1
255	1
	0	0

Pappas (1989) 考慮了該問題的另一個版本，其解為 79 個椰子。