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梅勒的埃爾米特多項式公式

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sum_(n=0)^infty(H_n(x)H_n(y))/(n!)(1/2w)^n=(1-w^2)^(-1/2)exp[(2xyw-(x^2+y^2)w^2)/(1-w^2)],
(1)

其中 H_n(x) 是一個 埃爾米特多項式 (Watson 1933; Erdélyi 1938; Szegö 1975, p. 380)。生成函式

sum_(n=0)^infty(H_n(x))/(|_n/2_|!)w^n=(1+2xw+4w^2)/((1+4w^2)^(3/2))exp((4x^2w^2)/(1+4w^2)),
(2)

其中 |_x_| 是 向下取整函式，可以從此公式推匯出來 (Doetsch 1930; Szegö 1975, p. 380)。更直接的求和，分母中用 |_n/2_| 替換為 n 後，由下式給出

sum_(n=0)^infty(H_n(x))/(n!)w^n=e^(-w^2+2wx).
(3)

另請參閱

埃爾米特多項式

使用 探索

參考文獻

Almqvist, G. 和 Zeilberger, D. "積分符號下微分法。" J. Symb. Comput. 10, 571-591, 1990.Doetsch, G. "埃爾米特多項式的積分方程性質。" Math. Z. 32, 587-599, 1930.Erdélyi, A. "埃爾米特多項式乘積的生成函式。" Math. Z. 44, 201-211, 1938.Foata, D. "梅勒公式的組合證明。" J. Comb. Th. Ser. A 24, 250-259, 1978.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 194-195, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Rainville, E. D. 特殊函式。 New York: Chelsea, p. 198, 1971.Szegö, G. 正交多項式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 380, 1975.Watson, G. N. "關於多項式生成函式的註釋：（2）埃爾米特多項式。" J. London Math. Soc. 8, 194-199, 1933.

在 中被引用

梅勒的埃爾米特多項式公式

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “梅勒的埃爾米特多項式公式。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/MehlersHermitePolynomialFormula.html

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