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魔法六邊形

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MagicHexagon

n 階魔法六邊形是由緊密排列的六邊形組成的圖形，其中包含數字 1, 2, ..., H_(n-1)，其中 H_n 是第 n 個六邊形數，使得每條直線上的數字之和都相同。（這裡，六邊形數是 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, ...；OEIS A003215）。在上面的 3 階魔法六邊形中，每條線（長度為 3、4 和 5 的線）的總和為 38。

恩斯特·馮·哈塞爾伯格於 1887 年（Bauch 1990, Hemme 1990）、W. 拉德克利夫於 1895 年（Tapson 1987, Hemme 1990, Heinz）、H. 盧利 (Hendricks, Heinz)、馬丁·庫爾於 1940 年（Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973）、克利福德·W·亞當斯（他在 1910 年至 1957 年研究這個問題）（Gardner 1963, 1984; Honsberger 1973）和維克斯 (1958; Trigg 1964) 獨立發現了它。

這個問題和解決方案有著悠久的歷史。亞當斯在 1910 年遇到了這個問題。他透過反覆試驗研究這個問題，多年後得出瞭解決方案，並將其 передал 給 M. 加德納，加德納將亞當斯的魔法六邊形傳送給查爾斯·W·特里格，特里格透過數學分析發現它是唯一的，不考慮旋轉和反射（Gardner 1984, p. 24）。加德納 (1963) 寫下了亞當斯的結果和特里格的工作。特里格 (1964) 進行了進一步的研究，總結了已知的結果和這個問題 history。

特里格證明了 n 階 n 六邊形的幻和為

(9(n^4-2n^3+2n^2-n)+2)/(2(2n-1)),

前幾個幻和為 1, 28/3, 38, 703/7, 1891/9, 4186/11, ... (OEIS A097361 和 A097362)，這需要 5/(2n-1) 為整數才能存在解。但這僅當 n=1（單個六邊形的平凡情況）和亞當斯的 n=3（Gardner 1984, p. 24）時才為整數。

另請參閱

六邊形數, 六邊形, 幻圖, 幻六芒星, 幻方, 帕斯卡定理, 護身符六邊形

使用 探索

參考文獻

Abraham, K. Philadelphia Evening Bulletin. 1963 年 7 月 19 日，第 18 頁和 1963 年 7 月 30 日。Bauch, H. F. "Zum magischen Sechseck von Ernst v. Haselberg." Wissenschaft und Fortschritt 40, 240-242 和封套第 4 頁, 1990.Bauch, H. F. "Magische Figuren in Parketten." Math. Semesterber. 38, 99-115, 1991.Beeler, M. et al. Item 49 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 18, 1972 年 2 月. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item49.Berlekamp, E. R.; Conway, J. H; and Guy, R. K. Winning Ways for Your Mathematical Plays, Vol. 2: Games in Particular. London: Academic Press, 1982.Gardner, M. "Permutations and Paradoxes in Combinatorial Mathematics." Sci. Amer. 209, 112-119, 1963 年 8 月.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 22-24, 1984.Gardner, M. "Hexes and Stars." Ch. 2 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 15-24, 1988.Heinz, H. D. "More Magic Squares." http://www.magic-squares.net/moremsqrs.htm.Hemme, H. "Das magische Sechseck." Bild der Wissenschaft, 164-166, 1988 年 10 月.  Reprinted as "Das magische Sechseck." §1.6 in Das Beste aus dem Mathematischen Kabinett (Ed. T. Devendran). Stuttgart, Germany: Deutsche Verlag-Anstalt, pp. 36-41, 1990.Hemme, H. "Das magische Sechseck." Problem 88 in Mathematik zum Frühstück. Göttingen, Germany: Vandenhoeck & Ruprecht, p. 44, 1990.Hendricks, J. "A Magic Square Course." p. 7.Honsberger, R. Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 69-76, 1973.Kschischang, F. R. "The Magic Hexagon." 2000 年 9 月.  http://www.comm.toronto.edu/~frank/hexagon/proof.html.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 100-101, 1979.Pickover, C. A. "The Magic Hexagon." §139 in The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures Across Dimensions. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 325-340, 2002.Radcliffe, W. "Magic Hexagon." 1895.  http://www.johnrausch.com/PuzzleWorld/puz/magic_hexagon.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A003215/M4362、A097361 和 A097362，收錄於《整數序列線上大全》。Tapson, F. "The Magic Hexagon: An Historical Note." Math. Gaz. 71, 217-229, 1987 年 10 月.Trigg, C. W. "A Unique Magic Hexagon." Recr. Math. Mag. 46, 40-43, 1964 年 1 月/2 月.  http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/magic-hexagon-trigg.Trigg, C. W. "P824：著名的魔法六邊形。" Math. Mag. 45, 100, 1972.Trigg, C. W. "問題 P824 的解答。" Math. Mag. 46, 44-45, 1973.Vickers, T. "Magic Hexagon." Math. Gaz. 42, 291, 1958 年 12 月.von Haselberg, E. "3 階唯一魔法六邊形的問題與解答。" Manuscript, 1887.von Haselberg, E. "Aufgabe." §795 in Zeitschrift für mathematische und naturwissenschaftlichen Unterricht 19, 429, 1888.von Haselberg, E. "Auflösung." §801 in Zeitschrift für mathematische und naturwissenschaftlichen Unterricht 20, 263-264, 1889.

在 中被引用

魔法六邊形

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "魔法六邊形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MagicHexagon.html

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