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李特爾伍德-薩勒姆-泉常數


Zygmund (1988, 第 192 頁) 指出,存在一個數 alpha_0 in (0,1),使得對於每個 alpha>=alpha_0,級數 sum_(n=1)^(infty)n^(-alpha)cos(nx) 的部分和在下方一致有界,而對於 alpha<=alpha_0,它們不是 (Arias de Reyna 和 van de Lune 2009)。

此常數由 0<alpha<1 的唯一解給出,方程為

int_0^(3pi/2)u^(-alpha)cosudu=(1-alpha)^(-1)((3pi)/2)^(1-alpha)_1F_2(1/2(1-alpha);1/2,1/2(3-alpha);-9/(16)pi^2)
(1)
=0,
(2)

其中 _1F_2(a;b,c;z) 是一個廣義超幾何函式,其值約為 alpha_0=0.3084437795... (OEIS A157957)。

定義 alpha_0 屬性的起源出現在 Littlewood 和 Salem 未發表的結果中,而定義 alpha_0 的方程歸功於 S. Izumi (Zygmund 1988, 第 379 頁),因此證明了李特爾伍德-薩勒姆-泉常數這個名稱的合理性 (Arias de Reyna 和 van de Lune 2009)。


使用 探索

參考文獻

Arias de Reyna, J. 和 van de Lune, J. "三角級數理論中一個常數的高精度計算。" Math. Comput. 電子版釋出於 2009 年 2 月 9 日。Askey, R. 正交多項式與特殊函式。 Philadelphia, PA: SIAM, 1975.Belov, A. S. "具有非負部分和的三角餘弦級數的係數。" 翻譯自 Proc. Steklov Inst. Math. 1992, 1-18, 1992. "函式論。(Amberd, 1987)." Trudy Mat. Inst. Steklov, 190, pp. 3-21, 1989.Boas, R. P. Jr. 和 Klema, C. "三角級數理論中的一個常數。" Math. Comput. 18, 674, 1964.Brown, G.; Wang, K.; 和 Wilson, D. C. "一些基本餘弦和的正性。" Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114, 383-391, 1993.Brown, G.; Dai, F.; 和 Wang, K. "關於正餘弦和。" Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 142, 219-232, 2007.Church, R. F. "三角級數理論中的一個常數。" Math. Comput. 19, 501, 1965.Finch, S. R. 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Luke, Y. L.; Fair, W.; Coombs, G.; 和 Moran, R. "三角級數理論中的一個常數。" Math. Comput. 19, 501-502, 1965.Grandjot, K.; Jarnik, V.; Landau, E.; 和 Littlewood, J. E. "從三角級數理論中確定一個絕對常數。" Annali di Mat. 6, 1-7, 1929.Koumandos, S. 和 Ruscheweyh, S. "正 Gegenbauer 多項式和及其在星形函式中的應用。" Constr. Approx. 23, 197-210, 2006.Sloane, N. J. A. 序列 A157957,收錄於“整數序列線上百科全書”。Zygmund, A. G. 三角級數,第 1-2 卷,第 2 版。 New York: Cambridge University Press, 1988.

在 中被引用

李特爾伍德-薩勒姆-泉常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "李特爾伍德-薩勒姆-泉常數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Littlewood-Salem-IzumiConstant.html

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