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赫希霍恩 3-7-5 恆等式

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設 ad=bc，則赫希霍恩的 3-7-5 恆等式，受到 拉馬努金 6-10-8 恆等式 的啟發，由下式給出

25[(b+c+d)^3+(a-d)^3-(a+b+c)^3-(c+d+a)^3-(b-c)^3+(d+a+b)^3][(b+c+d)^7+(a-d)^7-(a+b+c)^7-(c+d+a)^7-(b-c)^7+(d+a+b)^7] =21[(b+c+d)^5+(a-d)^5-(a+b+c)^5-(c+d+a)^5-(b-c)^5+(d+a+b)^5]^2.
(1)

這個恆等式的另一個版本可以使用線性形式給出。設 c=a+b，則，

25{[ax+(b+c)y]^3+[bx-(a+c)y]^3-[cx-(a-b)y]^3-[ax-(b+c)y]^3-[bx+(a+c)y]^3+[cx+(a-b)y]^3}{[ax+(b+c)y]^7+[bx-(a+c)y]^7-[cx-(a-b)y]^7-[ax-(b+c)y]^7-[bx+(a+c)y]^7+[cx+(a-b)y]^7} =21{[ax+(b+c)y]^5+[bx-(a+c)y]^5-[cx-(a-b)y]^5-[ax-(b+c)y]^5-[bx+(a+c)y]^5+[cx+(a-b)y]^5}^2.
(2)

考慮到以下情況，可以更好地理解這種情況

25[p^3+q^3-(p+q)^3-r^3-s^3+(r+s)^3] ×[p^7+q^7-(p+q)^7-r^7-s^7+(r+s)^7]-21[p^5+q^5-(p+q)^5-r^5-s^5+(r+s)^5]^2 =-525pq(p+q)rs(r+s)(p^2+pq+q^2-r^2-rs-s^2)^2,
(3)

因此，問題簡化為找到形如 (p,q,r,s) 的表示式，使得

p^2+pq+q^2=r^2+rs+s^2,
(4)

這兩個給定的版本都滿足這一點。

另請參閱

拉馬努金 6-10-8 恆等式, 艾森斯坦整數

此條目由 Tito Piezas III 貢獻 (作者連結)

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參考文獻

Berndt, B. C. 拉馬努金的筆記本，第四部分。 New York: Springer-Verlag, 1994.Hirschhorn, M. "拉馬努金的兩個或三個恆等式。" Amer. Math. Monthly 105, 52-55, 1998.Piezas, T. "拉馬努金與四次方程 2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4。" http://www.geocities.com/titus_piezas/RamQuad.pdf.

在 中被引用

赫希霍恩 3-7-5 恆等式

請引用為

Piezas, Tito III. "赫希霍恩 3-7-5 恆等式。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/Hirschhorn3-7-5Identity.html

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