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希爾伯特不等式

給定一個正 序列 {a_n}，

sqrt(sum_(j=-infty)^infty|sum_(n=-infty; n!=j)^infty(a_n)/(j-n)|^2)<=pisqrt(sum_(n=-infty)^infty|a_n|^2),
(1)

其中 a_n 是實數且“平方可和”。

另一個被稱為希爾伯特不等式適用於非負序列 {a_n} 和 {b_n}，

sum_(m=1)^inftysum_(n=1)^infty(a_mb_n)/(m+n)<picsc(pi/p)(sum_(m=1)^inftya_m^p)^(1/p)(sum_(n=1)^inftyb_n^q)^(1/q)
(2)

除非所有 a_n 或所有 b_n 均為 0。如果 f(x) 和 g(x) 是非負可積函式，則積分形式為

int_0^inftyint_0^infty(f(x)g(y))/(x+y)dxdy<picsc(pi/p) ×(int_0^infty[f(x)]^pdx)^(1/p)(int_0^infty[g(x)]^qdx)^(1/q).
(3)

常數 picsc(pi/P) 是最佳可能的，因為可以為任何更小的值構造反例。

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參考文獻

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; 和 Pólya, G. “希爾伯特雙級數定理”和“關於希爾伯特不等式”。§9.1 和附錄 III 見Inequalities, 2nd ed. 劍橋，英格蘭：劍橋大學出版社，第 226-227 和 308-309 頁，1988 年。

在 上引用

希爾伯特不等式

引用為

Weisstein, Eric W. “希爾伯特不等式”。來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HilbertsInequality.html

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