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頭尾差分佈

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HeadsMinusTails

一個均勻的硬幣被拋擲偶數 2n 次。設 D=|H-T| 為獲得的正反面次數之差的絕對值。那麼機率分佈由下式給出

P(D=2k)={(1/2)^(2n)(2n; n) for k=0; 2(1/2)^(2n)(2n; n+k) for k=1, 2, ...,
(1)

其中 P(D=2k-1)=0。D 最可能的值是 D 是 D=2，期望值是

<D_n>=(n(2n; n))/(2^(2n-1))
(2)
=(2Gamma(1/2+n))/(sqrt(pi)Gamma(n))
(3)
=(2sqrt(pi)(-1)^n)/(Gamma(n)Gamma(1/2-n))
(4)
=(-1)^(n+1)(-3/2; -(n+1)).
(5)

<D> 的生成函式由下式給出

sum<D_n>x^n=x/((1-x)^(3/2))
(6)
=1+3/2x+(15)/8x^2+(35)/(16)x^3+...
(7)

(OEIS A001803 和 A046161; Abramowitz and Stegun 1972, Prévost 1933; Hughes 1995)。這些數字也出現在一維隨機遊走中。

參見

伯努利分佈, 硬幣, 拋硬幣, 一維隨機遊走

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第9版印刷。 New York: Dover, p. 798, 1972.Handelsman, M. B. Solution to Problem 436. "Distributing 'Heads' Minus 'Tails.' " College Math. J. 22, 444-446, 1991.Hughes, B. D. Eq. (7.282) in 隨機遊走與隨機環境，卷 1：隨機遊走。 New York: Oxford University Press, p. 513, 1995.Prévost, G. 球函式表。 Paris: Gauthier-Villars, pp. 156-157, 1933.Sloane, N. J. A. Sequences A001803/M2986 和 A046161 在 "整數數列線上大全" 中。

在 中被引用

頭尾差分佈

引用為

Weisstein, Eric W. "頭尾差分佈。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Heads-Minus-TailsDistribution.html

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