快樂結局問題，也稱為“快樂的結局問題”，是為了確定對於 
使得在平面上處於一般位置（即，其中沒有三點是共線）的最小點數 
的問題，這樣 
個點的每一種可能的排列都將總是包含至少一組 
個點，這些點是一個 凸多邊形 的 
條邊的頂點。當兩位最初研究這個問題的研究者 Ester Klein 和 George Szekeres 訂婚並隨後結婚時，Erdős 給這個問題起了這個名字（Hoffman 1998, p. 76）。
由於三個非共線點總是確定一個三角形，所以 
。
上面展示了 
個點的隨機排列。請注意，對於上面第五和第八個圖中顯示的排列，不可能有凸四邊形，因此 
必須大於 4。E. Klein 證明了 
，透過展示任何五個點的排列都必然屬於三種情況之一（左上圖；Hoffman 1998, pp. 75-76）。
上面展示了 
個點的隨機排列。請注意，對於上面第五個圖中顯示的排列，不可能有凸五邊形，因此 
必須大於 8。E. Makai 證明了 
，在證明對於八個點可以找到反例之後（右上圖；Hoffman 1998, pp. 75-76）。
隨著點的數量 
的增加，為了檢視它們是否形成凸 
邊形，需要檢查的 
-子集 的數量 
也隨著 
而增加，因此組合爆炸阻止了對遠大於 
的情況進行輕鬆研究。此外，引數空間變得如此之大，以至於即使對於 
且 
個點的情況，隨機搜尋反例也需要極長的時間。由於這些原因，一般問題仍然是開放的。
Szekeres 和 Peters (2006) 使用 1500 CPU 時的計算機搜尋證明了 
，該搜尋消除了 17 個點的所有可能配置，這些配置缺少凸六邊形，同時僅檢查了所有配置中的一小部分。Marić (2019) 和 Scheucher (2020) 獨立地驗證了 
，在幾個 CPU 小時內使用了可滿足性 (SAT) 求解，Scheucher (2023) 後來將時間縮短到 10 CPU 分鐘，Heule 和 Scheucher (2024) 縮短到 8.53 CPU 秒。
因此，
對於 
、4、5 和 6 的前幾個值分別是 3、5、9、17，這恰好是 
。然而，
對於 
的值是未知的。
Erdős 和 Szekeres (1935) 表明 
總是存在，並推匯出界限
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(1)
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其中 
是一個 二項式係數。對於 
，此界限後來被簡化為 
，其中
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(2)
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由 Chung 和 Graham (1998) 提出，
，其中
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(3)
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由 Kleitman 和 Pachter (1998) 提出，以及 
，其中
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(4)
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由 Tóth 和 Valtr (1998) 提出。
邊形。" Discr. Comput. Geom. 19, 367-371, 1998.Erdős, P. 和 Szekeres, G. "幾何學中的一個組合問題。" Compositio Math. 2, 463-470, 1935.Heule, M. J. H. 和 Scheucher, M. "快樂結局：每 30 個點的集合中都有一個空六邊形。" 2024 年 3 月 1 日。