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丟番圖方程——n次冪

2-1 方程

A^n+B^n=C^n
(1)

是 費馬最後定理 的一個特例，因此對於 n>=3 沒有解。 Lander et al. (1967) 給出了一個表格，顯示了最小的 n，對於該值，方程

x_1^k+x_2^k+...+x_m^k=y_1^k+y_2^k+...+y_n^k,
(2)

在 1<=m<=n 的條件下有解。 下面給出了更新的表格；更全面的表格可以在 Meyrignac 的網站上找到。

k\m123456
22
332
432
543
6753
77654
88755
9109865
10131211976

取自 拉馬努金 6-10-8 恆等式 的結果，對於 ad=bc，其中

F_(2m)(a,b,c,d)=(a+b+c)^(2m)+(b+c+d)^(2m) -(c+d+a)^(2m)-(d+a+b)^(2m)+(a-d)^(2m)-(b-c)^(2m)
(3)

和

f_(2m)(x,y)=(1+x+y)^(2m)+(x+y+xy)^(2m) -(y+xy+1)^(2m)-(xy+1+x)^(2m)+(1-xy)^(2m)-(x-y)^(2m),
(4)

則

F_(2m)(a,b,c,d)=a^(2m)f_(2m)(x,y).
(5)

使用

f_2(x,y)=0
(6)
f_4(x,y)=0
(7)

現在給出

(a+b+c)^n+(b+c+d)^n+(a-d)^n =(c+d+a)^n+(d+a+b)^n+(b-c)^n
(8)

對於 n=2 或 4。

另請參閱

丟番圖方程, 尤拉冪和猜想, 拉馬努金 6-10-8 恆等式

使用 探索

參考文獻

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, p. 101, 1994.Berndt, B. C. and Bhargava, S. "Ramanujan--For Lowbrows." Amer. Math. Monthly 100, 644-656, 1993.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 653-657, 2005.Gloden, A. Mehrgradige Gleichungen. Groningen, Netherlands: P. Noordhoff, 1944.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.Lander, L. J.; Parkin, T. R.; and Selfridge, J. L. "A Survey of Equal Sums of Like Powers." Math. Comput. 21, 446-459, 1967.Meyrignac, J.-C. "Computing Minimal Equal Sums of Like Powers." http://euler.free.fr.Reznick, B. Sums of Even Powers of Real Linear Forms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992.Sekigawa, H. and Koyama, K. "Nonexistence Conditions of a Solution for the Congruence x_1^k+...+x_s^k=N (mod p^n)." Math. Comput. 68, 1283-1297, 1999.

請引用為

Weisstein, Eric W. “丟番圖方程——n次冪。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/DiophantineEquationnthPowers.html

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