立方體線段選取——面與面

與其從立方體內部選取兩個點，不如從單位立方體的不同面上選取兩個點。在這種情況下，點之間的平均距離是

Delta_f(3)=4/5int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2+(z-w)^2)dwdxdydz+1/5int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(1+(y-u)^2+(z-w)^2)dudwdydz
=1/(75)[4+17sqrt(2)-6sqrt(3)+21ln(1+sqrt(2))+42ln(2+sqrt(3))-7pi]
=0.92639...

(1)

（OEIS A093066；Borwein 和 Bailey 2003，第 26 頁；Borwein等人 2004，第 66-67 頁）。有趣的是，

(2)

正如 M. Trott 首次指出的那樣（私人通訊，2008 年 3 月 21 日）。

上述兩個積分可以用求和的形式寫成

			(3)
			(4)

（Borwein等人 2004，第 67 頁），然而，其中似乎是經典發散的，可能必須在某種正則化的意義上解釋。

考慮一條線段，其端點在單位立方體的相對面上隨機選取。這條線段長度的機率密度函式由下式給出

$P(l)={2l[l^2-4sqrt(l^2-1)+pi-1] for 1<=<sqrt(2); 2l[-l^2+4sqrt(l^2-2)-4sec^(-1)(sqrt(l^2-1))+pi-1] for sqrt(2)<=l<=sqrt(3)$

(5)

（Mathai 1999；簡化後）。平均長度為

			(6)
			(7)

第一個偶原始矩對於、2、4、... 分別是 1、4/3、167/90、284/105、931/225、9868/1485、....

考慮一條線段，其端點在單位立方體的相鄰面上隨機選取。這條線段長度的機率密度函式由下式給出

$P(l)={1/2pil^2(2-l) for 0<=1; 2l[(5/4-l)pi+l^2sec^(-1)l-sqrt(l^2-1)] for 1<=<sqrt(2); 1/2l[-pil^2+4sqrt(l^2-2)+8ltan^(-1)(lsqrt(l^2-2))-16tan^(-1)(sqrt(l^2-2)) ; -8lcsc^(-1)(sqrt(2(1-l^(-2))))+4(l^2+1)csc^(-1)(sqrt(l^2-1))+3pi-4] for sqrt(2)<=l<=sqrt(3)$